2020-全国卷II理-08 单-基本不等式

本题导读

本题考查双曲线的渐近线方程，以及三角形面积公式。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(理)）8. 设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=a$ 与双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的两条渐近线分别交于 $D,E$ 两点，若 $△ODE$ 的面积为 8，则 $C$ 的焦距的最小值为（ ）

A. 4　　　　　　　B. 8　　　　　　　C. 16　　　　　　　D. 32

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定交点坐标：

• 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

• 将 $x=a$ 代入渐近线方程，得到交点 $D(a,b)$ 和 $E(a,-b)$。

2. 利用面积建立关系：

• $△ODE$ 是以 $DE$ 为底，以原点到直线 $x=a$ 的距离为高的三角形。
• 底边 $|DE|=|b-(-b)|=2b$，高 $h=a$。
• 面积 $S=\frac{1}{2}\cdot 2b\cdot a=ab=8$。

3. 求焦距最小值：

• 焦距 $2c=2\sqrt{a^2+b^2}$。
• 利用基本不等式 $a^2+b^2\ge 2ab$ 求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

1. 求交点： 双曲线渐近线为 $y=\frac{b}{a}x$ 和 $y=-\frac{b}{a}x$。 当 $x=a$ 时，$y=\pm b$。故 $D(a,b)$，$E(a,-b)$。

2. 面积计算： 在 $△ODE$ 中，底 $|DE|=2b$，高（原点到 $x=a$ 距离）为 $a$。 $S_{△ODE}=\frac{1}{2}\times a\times 2b=ab$ 已知面积为 8，则 $ab=8$。

3. 最值计算： 焦距 $2c=2\sqrt{a^2+b^2}$。 根据基本不等式 $a^2+b^2\ge 2ab$： $2c=2\sqrt{a^2+b^2}\ge 2\sqrt{2ab}$ 代入 $ab=8$： $2c\ge 2\sqrt{2\times 8}=2\sqrt{16}=8$ 当且仅当 $a=b=2\sqrt{2}$ 时，等号成立。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 渐近线记忆： 焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$；焦点在 $y$ 轴上则为 $y=\pm \frac{a}{b}x$。一个简单的记忆法是：令方程右边的 1 为 0，即得渐近线方程。
• 基本不等式前提： 使用 $a^2+b^2\ge 2ab$ 时，务必确认 $a,b$ 同号或其平方为正，且检验等号成立的条件（本题中 $a,b$ 为常数参数，可取相等）。
• 几何直观： 直线 $x=a$ 正好经过双曲线的顶点。此时 $D,E$ 对应的纵坐标 $b,-b$ 恰好构成了双曲线“虚轴”的端点位置（虽然虚轴不真实存在）。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目将条件改为“$△ODE$ 是等腰直角三角形”，则意味着 $a=b$，此时双曲线为等轴双曲线，离心率 $e=\sqrt{2}$。在解析几何中，三角形的形状往往直接锁定了 $a,b$ 的比例关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-03 填-渐近线
• 2014-浙江卷理-16 填-渐近线
• 1994-全国卷理-08