2020-全国卷II理-22 解-极坐标与参数方程

本题导读

本题考查参数方程化普通方程。核心在于平方作差法 (消参)、待定系数法 (求圆方程)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(理)）22. [选修 4—4：坐标系与参数方程] 已知曲线 $C_1,C_2$ 的参数方程分别为 $C_1:\{\begin{array}{l}x=4{\cos }^2\theta \\ y=4{\sin }^2\theta \end{array}$（$\theta$ 为参数），$C_2:\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t}\\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}$（$t$ 为参数）。

（1）将 $C_1,C_2$ 的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系。设 $C_1,C_2$ 的交点为 $P$，求圆心在极轴上，且经过极点和 $P$ 的圆的极坐标方程。

🔍【思路分析】

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（1）消参转化：

• 对于 $C_1$： 观察到 $x$ 和 $y$ 分别包含 ${\cos }^2\theta$ 和 ${\sin }^2\theta$。利用同角三角函数平方关系 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ 直接相加即可。

• 对于 $C_2$： 这是一个典型的“倒数和差”结构。利用 $(t+\frac{1}{t}{)}^2-(t-\frac{1}{t}{)}^2=4$ 的代数恒等式进行消参。

（2）求解圆方程：

• 找交点 $P$： 联立 $C_1,C_2$ 的普通方程，求出 $P$ 点坐标。
• 定圆心与半径： 圆心在极轴上，意味着在直角坐标系中圆心位于 $x$ 轴，设为 $(a,0)$。又因为圆过原点 $(0,0)$，所以半径 $r=|a|$。
• 互化： 得到直角坐标方程 $x^2+y^2=2ax$ 后，利用 $x^2+y^2={\rho }^2$ 和 $x=\rho \cos \theta$ 转化。

✅【答案】

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$C_1$ 的普通方程为：$x+y=4$（线段）

✍【详细解析】

Abstract

（1）将参数方程化为普通方程

1. 对于 $C_1$： 将两式相加得：$x+y=4({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=4$。 注意范围：由于 ${\cos }^2\theta ,{\sin }^2\theta \in [0,1]$，故 $x\in [0,4],y\in [0,4]$。 所以 $C_1$ 的普通方程为：$x+y=4$（线段）。

2. 对于 $C_2$： $x^2=(t+\frac{1}{t}{)}^2=t^2+2+\frac{1}{t^2}$ $y^2=(t-\frac{1}{t}{)}^2=t^2-2+\frac{1}{t^2}$ 两式相减得：$x^2-y^2=4$。 所以 $C_2$ 的普通方程为：$x^2-y^2=4$（双曲线）。

（2）求圆的极坐标方程

1. 求交点 $P$： 联立 $\{\begin{array}{l}x+y=4\\ x^2-y^2=4\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x+y=4\\ (x+y)(x-y)=4\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x+y=4\\ 4(x-y)=4\end{array}$ 解得 $\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}\\ y=\frac{3}{2}\end{array}$。故交点 $P(\frac{5}{2},\frac{3}{2})$。

2. 确定圆方程： 因为圆心在极轴上，设圆心为 $(a,0)$，半径为 $R$。 又圆经过原点 $(0,0)$，所以 $R=|a|$，圆的方程为 $(x-a{)}^2+y^2=a^2$。 即：$x^2-2ax+y^2=0$。 将 $P(\frac{5}{2},\frac{3}{2})$ 代入： $(\frac{5}{2}{)}^2-2a(\frac{5}{2})+(\frac{3}{2}{)}^2=0⟹\frac{25}{4}-5a+\frac{9}{4}=0$ $\frac{34}{4}=5a⟹a=\frac{17}{10}$。 所以圆的直角坐标方程为 $x^2+y^2=\frac{17}{5}x$。

3. 化为极坐标方程： 代入 ${\rho }^2=x^2+y^2,x=\rho \cos \theta$ 得： ${\rho }^2=\frac{17}{5}\rho \cos \theta$。 消去 $\rho$（$\rho =0$ 包含在方程中），得： $\rho =\frac{17}{5}\cos \theta$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 消参技巧： 对于 $t$ 相关的参数方程，常用的有代入法、加减消元法以及利用 $1={\sin }^2+{\cos }^2$ 或 $4=(t+1/t{)}^2-(t-1/t{)}^2$。
• 极坐标含义： 圆心在极轴上且过极点的圆，其标准形式必然是 $\rho =2a\cos \theta$（在极轴正半轴）或 $\rho =-2a\cos \theta$。
• 细节检查： 第一问中 $C_1$ 的 $x,y$ 范围虽然在本题计算中不影响，但在填空题中往往是易错点。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目要求圆经过极点且圆心在垂直于极轴的直线上（如 $y$ 轴），那么其极坐标方程的形式将变为 $\rho =2b\sin \theta$。掌握这种图形特征与方程结构的对应关系，可以极大地提高极坐标题目的解题速度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2015-广东卷文-14 填-极坐标参数方程
• 1982-全国卷理-06
• 1983-全国卷理-06(2)