2020-全国卷III文-10 单-比较大小

本题导读

本题考查对数函数的大小比较，以及中间值法。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(文)）设 $a={\log }_{3}2$, $b={\log }_{5}3$, $c=\frac{2}{3}$，则 ( )

A. $a<c<b$　　B. $a<b<c$　　C. $b<c<a$　　D. $c<a<b$

🔍【思路分析】

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1. 利用常用中间值（如 $\frac{1}{2}$ 或 $1$）将 $a,b,c$ 与之对比。
2. 比较 $a$ 与 $\frac{1}{2}$、 $b$ 与 $\frac{1}{2}$ 的大小，进一步确定三者顺序。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $a={\log }_{3}2$，而 ${\log }_3\sqrt{3}=\frac{1}{2}$，因为 $2>\sqrt{3}$，所以 $a>\frac{1}{2}$（精确地说 ${\log }_{3}2>{\log }_3\sqrt{3}=\frac{1}{2}$，即 $a>0.5$）。 对于 $b={\log }_{5}3$，而 ${\log }_5\sqrt{5}=\frac{1}{2}$，因为 $3<\sqrt{5}=\sqrt{5}$ 吗？不对，$\sqrt{5}\approx 2.236<3$，所以 $3>\sqrt{5}$，故 $b>\frac{1}{2}$。 我们可以通过幂的形式或交叉相乘来精细比较： 比较 $a$ 与 $c=\frac{2}{3}$： $a={\log }_{3}2⟺3^a=2$。若 $a=\frac{2}{3}$，则 $3^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{9}$，而 $2^3=8<9$，所以 $\sqrt[3]{9}>2$，即 $3^{\frac{2}{3}}>3^a$，故 $a<\frac{2}{3}$（即 $a<c$）。 比较 $b$ 与 $c=\frac{2}{3}$： $b={\log }_{5}3⟺5^b=3$。若 $b=\frac{2}{3}$，则 $5^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{25}$，而 $3^3=27>25$，所以 $\sqrt[3]{25}<3$，即 $5^{\frac{2}{3}}<5^b$，故 $b>\frac{2}{3}$（即 $b>c$）。 综上所述：$a<c<b$。 故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数的大小比较。
2. 核心方法：指数转化法、中间变量法。
3. 避坑指南：注意底数和真数的相对大小，善于利用特值进行估算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2020年高考数学全国卷III文科第10题。
2. 结论推广: 熟练运用指对数转化及不等式传递性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2021-新高考II卷-07 单-对数比较大小
• 1990-上海卷-18 单-对数的大小比较
• 2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域