2021-新高考II卷-07 单-对数比较大小

本题导读

本题考查对数函数的概念与运算性质，以及对数函数的单调性应用。

📌【题干】

Question

（2021年新高考II卷）已知 $a={\log }_{5}2$，$b={\log }_{8}3$，$c=\frac{1}{2}$，则下列判断正确的是（ ）

A. $c<b<a$　　B. $b<a<x$　　C. $a<c<b$　　D. $a<b<c$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察特征：$a$ 和 $b$ 的底数与真数各不相同，直接比较较为困难。
2. 选取桥梁值：由于 $c=\frac{1}{2}$ 是一个具体的常数，且 $a,b$ 的数值均在 $0$ 到 $1$ 之间，考虑以 $c$ 为基准进行比较。
3. 同底化处理：

• 将 $c$ 化为以 $5$ 为底的对数，与 $a$ 比较；
• 将 $c$ 化为以 $8$ 为底的对数，与 $b$ 比较。

4. 利用单调性结论：利用对数函数 $y={\log }_{m}x$ 当底数 $m>1$ 时在 $(0,+\infty )$ 上单调递增的性质得出结论。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：比较 $a$ 与 $c$ 已知 $a={\log }_{5}2$，$c=\frac{1}{2}$。 将 $c$ 变形为以 $5$ 为底的对数： $c=\frac{1}{2}={\log }_5{5}^{\frac{1}{2}}={\log }_5\sqrt{5}$。 由于 $\sqrt{5}>\sqrt{4}=2$，即 $2<\sqrt{5}$。 因为底数 $5>1$，函数 $y={\log }_{5}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增， 所以 ${\log }_{5}2<{\log }_5\sqrt{5}$，即 $a<c$。

第二步：比较 $b$ 与 $c$ 已知 $b={\log }_{8}3$，$c=\frac{1}{2}$。 将 $c$ 变形为以 $8$ 为底的对数： $c=\frac{1}{2}={\log }_8{8}^{\frac{1}{2}}={\log }_8\sqrt{8}$。 由于 $\sqrt{8}<\sqrt{9}=3$，即 $3>\sqrt{8}$。 因为底数 $8>1$，函数 $y={\log }_{8}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增， 平衡得 ${\log }_{8}3>{\log }_8\sqrt{8}$，即 $b>c$。

第三步：综合排序 综合以上结论：$a<c$ 且 $c<b$。 故有：$a<c<b$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心技巧——中间值法：在比较不同底数的指数或对数大小时，常用的“桥梁”数值有 $0,\frac{1}{2},1$ 等。本题中 $c=\frac{1}{2}$ 就是完美的参照点。
2. 运算技巧：判定 ${\log }_{m}n$ 与 $\frac{1}{2}$ 的大小，本质上是比较 $n$ 与 $\sqrt{m}$ 的大小。若不确定 $\sqrt{m}$ 的近似值，可以通过平方（即比较 $n^2$ 与 $m$）来确保准确。
3. 避坑指南：

• 单调性前提：使用单调性前务必确认底数是否大于 $1$。若底数在 $(0,1)$ 之间，不等号方向需翻转。
• 符号混淆：在最终排序时，看清选项中的小于号或大于号方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题也可以利用换底公式。 $a=\frac{\ln 2}{\ln 5}\approx \frac{0.693}{1.609}\approx 0.43$ $b=\frac{\ln 3}{\ln 8}=\frac{\ln 3}{3\ln 2}\approx \frac{1.098}{2.079}\approx 0.528$ 从而直接得出 $a<0.5<b$。但在高考中，利用中间值进行逻辑推导更为严谨且不需要记忆具体的对数数值。
• 能力提升：如果题目给出的三个数底数互为倒数或幂次关系，可以尝试统一底数后再进行比较。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域
• 2008-湖北卷文-08 单-复合函数定义域
• 2009-江西卷理-02