2020-全国卷III文-15 填-导数运算

本题导读

本题考查导数的运算，以及商的导数法则。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(文)）设函数 $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{x+a}$. 若 $f^{\prime }(1)=\frac{\mathrm{e}}{4}$，则 $a=$________.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用商的求导法则求出导函数 $f^{\prime }(x)$ 的表达式。

2. 将 $x=1$ 及 $f^{\prime }(1)=\frac{\mathrm{e}}{4}$ 代入导函数中，建立关于 $a$ 的方程求解。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

根据商的求导法则：

$f^{\prime }(x)=\frac{({\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }(x+a)-{\mathrm{e}}^x(x+a{)}^{\prime }}{(x+a{)}^2}=\frac{{\mathrm{e}}^x(x+a)-{\mathrm{e}}^x\cdot 1}{(x+a{)}^2}=\frac{{\mathrm{e}}^x(x+a-1)}{(x+a{)}^2}$。

当 $x=1$ 时：

$f^{\prime }(1)=\frac{{\mathrm{e}}^1(1+a-1)}{(1+a{)}^2}=\frac{a\mathrm{e}}{(1+a{)}^2}$。

因为 $f^{\prime }(1)=\frac{\mathrm{e}}{4}$，

所以 $\frac{a\mathrm{e}}{(1+a{)}^2}=\frac{\mathrm{e}}{4}$，

两边约去 $\mathrm{e}$ 并化简得：$\frac{a}{(1+a{)}^2}=\frac{1}{4}$，

即 $(1+a{)}^2=4a$，

展开得 $1+2a+a^2=4a⟹a^2-2a+1=0$，

解得 $(a-1{)}^2=0⟹a=1$。

故答案为：$1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数四则运算、商的求导公式。

2. 核心方法：方程求解法。

3. 避坑指南：求导时注意分母不要漏平方，计算过程仔细化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2020年高考数学全国卷III文科第15题。

2. 结论推广: 熟练掌握常见初等函数的求导公式及法则。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷II理-22 解-利用导数研究函数的

• 2014-大纲卷理-07 单-切线的斜率

• 1985-全国卷理-18