2014-大纲卷理-07 单-切线的斜率

本题导读

本题考查导数的几何意义，即函数在某点处的导数值等于该点处切线的斜率。核心考点在于正确运用乘积求导法则和复合函数求导法则。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(理)） 曲线 $y=x{e}^{x-1}$ 在点 $(1,1)$ 处切线的斜率等于()

A. $2e$　　　　　　　B. $e$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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1. 理解几何意义：函数 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的切线斜率 $k$ 等于该点处的导数值 $f^{\prime }(x_0)$。

2. 求导运算：利用乘积求导法则 $[u(x)v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$ 对函数 $y=x{e}^{x-1}$ 进行求导。

3. 代入求值：将切点的横坐标 $x=1$ 代入导函数中，计算出斜率的具体数值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：对函数进行求导

设 $y=f(x)=x{e}^{x-1}$。

利用乘积求导法则，令 $u=x$，$v=e^{x-1}$：

• $u^{\prime }=1$

• $v^{\prime }=e^{x-1}\cdot (x-1{)}^{\prime }=e^{x-1}$

  则 $f^{\prime }(x)=1\cdot e^{x-1}+x\cdot e^{x-1}=(1+x)e^{x-1}$。

第二步：代入横坐标计算斜率

在点 $(1,1)$ 处，横坐标 $x=1$。

将 $x=1$ 代入导函数 $f^{\prime }(x)$：

$k=f^{\prime }(1)=(1+1)e^{1-1}=2\cdot e^0$

因为 $e^0=1$，所以：

$k=2\times 1=2$

结论：曲线在点 $(1,1)$ 处的切线斜率为 $2$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：切线斜率 $k=y^{\prime }{|}_{x=x_0}$。

2. 核心方法：熟练掌握基本初等函数的求导公式及运算法则。

3. 避坑指南：在对 $e^{x-1}$ 求导时，虽然结果恰好是它本身，但理论上属于复合函数求导（链式法则），若指数项更复杂（如 $e^{x^2}$），则需额外小心。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 法线斜率（$k_{\text{法}}=-1/k_{\text{切}}$）、导数的物理意义（瞬时速度）。

2. 结论推广: 若要求切线方程，可利用点斜式：$y-1=2(x-1)$，即 $y=2x-1$。

3. 方法推广: 涉及指数与多项式乘积的求导是高考常考题型，建议养成提取公因式（如 $e^{x-1}$）的习惯，便于后续判断单调性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-10 填-切线斜率
• 2015-广东卷文-15 填-圆的切线
• 2015-山东卷文-13 填-圆的切线