2020-全国卷III文-22 解-极坐标与参数方程

本题导读

本题考查参数方程的意义。核心在于零点反推法、坐标转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(文)）22. [选修 4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=2-t-t^2\\ y=2-3t+t^2\end{array}$（$t$ 为参数且 $t\ne 1$），$C$ 与坐标轴交于 $A,B$ 两点。

（1）求 $|AB|$；

（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 $AB$ 的极坐标方程。

🔍【思路分析】

破题导航

（1）求交点与距离：

• 找 $A$ 点（在 $y$ 轴上）： 令 $x=0$，解出参数 $t$，再代入求出对应的 $y$。

• 找 $B$ 点（在 $x$ 轴上）： 令 $y=0$，解出参数 $t$，再代入求出对应的 $x$。

• 算距离： 利用公式 $|AB|=\sqrt{(x_A-x_B{)}^2+(y_A-y_B{)}^2}$。

（2）求极坐标方程：

• 定直角方程： 根据 $A,B$ 两点坐标，利用截距式或点斜式写出直线 $AB$ 的方程。
• 互化公式： 代入 $x=\rho \cos \theta$ 和 $y=\rho \sin \theta$ 整理即可。

✅【答案】

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取 $t=-2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $|AB|$

1. 求 $A$ 点坐标： 令 $x=0$，即 $2-t-t^2=0$，解得 $t=-2$ 或 $t=1$。 由题意 $t\ne 1$，故取 $t=-2$。 代入 $y$ 的表达式：$y=2-3(-2)+(-2{)}^2=2+6+4=12$。 所以 $A(0,12)$。

2. 求 $B$ 点坐标： 令 $y=0$，即 $t^2-3t+2=0$，解得 $t=2$ 或 $t=1$。 由题意 $t\ne 1$，故取 $t=2$。 代入 $x$ 的表达式：$x=2-2-2^2=-4$。 所以 $B(-4,0)$。

3. 计算距离： $|AB|=\sqrt{(0-(-4){)}^2+(12-0{)}^2}=\sqrt{16+144}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$。

（2）求直线 $AB$ 的极坐标方程

1. 求直线 $AB$ 的直角坐标方程： 已知直线过 $A(0,12)$，$B(-4,0)$。 利用截距式：$\frac{x}{-4}+\frac{y}{12}=1$。 两边同乘以 12 得：$-3x+y=12$，即 $3x-y+12=0$。

2. 化为极坐标方程： 将 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 代入： $3\rho \cos \theta -\rho \sin \theta +12=0$。 即所求极坐标方程为：$\rho (3\cos \theta -\sin \theta )+12=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 参数方程的“点”： 参数方程本质上是点的集合。求交点时，一定要先通过一个坐标轴的限制（如 $x=0$）找到对应的“时刻” $t$，再看另一个坐标。
• 限制条件： 题目中的 $t\ne 1$ 是一个关键的排除项，如果忽视它，会发现曲线可能在 $(0,0)$ 处有定义矛盾或多出交点。
• 极坐标转换习惯： 极坐标方程通常写成 $\rho =f(\theta )$ 的形式，但对于直线，写成类似 $3\rho \cos \theta -\rho \sin \theta +12=0$ 的一般式也是标准答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果曲线 $C$ 的参数方程可以消去 $t$ 得到普通方程，本题会更简单吗？ 尝试消参：由 $x-y=2t$ 可得 $t=\frac{x-y}{2}$，代入其中一个方程会得到一个关于 $x,y$ 的二次曲线（通常是抛物线或旋转后的双曲线）。在处理“与坐标轴交点”问题时，直接利用参数方程通常比消参后求根更高效。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1981-全国卷理-04
• 1984-全国卷理-16
• 1987-全国卷理-21 解-抛物线与线段中点最值