2020-全国卷III理-05 单-抛物线焦点

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与对称性，以及向量垂直的充要条件。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(理)）5. 设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=2$ 与抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 交于 $D,E$ 两点，若 $OD\perp OE$，则 $C$ 的焦点坐标为（ ）

A. $(\frac{1}{4},0)$　　　　B. $(\frac{1}{2},0)$　　　　C. $(1,0)$　　　　D. $(2,0)$

🔍【思路分析】

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1. 分析对称性：

• 抛物线 $y^2=2px$ 关于 $x$ 轴对称。

• 直线 $x=2$ 垂直于 $x$ 轴。

• 因此，交点 $D,E$ 关于 $x$ 轴对称。设 $D(2,y_D)$，则 $E(2,-y_D)$。

2. 利用垂直条件：

• 方法一（几何角）： 因为 $OD\perp OE$ 且关于 $x$ 轴对称，所以 $\angle DOx=\angle EOx=45^{\circ }$。这意味着 $D$ 点的纵坐标等于横坐标，即 $y_D=2$。
• 方法二（斜率）： $k_{OD}\cdot k_{OE}=-1⟹\frac{y_D}{2}\cdot \frac{-y_D}{2}=-1⟹y_D^2=4$。

3. 求参数 $p$： 将 $D(2,2)$ 或 $y_D^2=4$ 代入抛物线方程 $y^2=2px$。

4. 确定焦点： 抛物线 $y^2=2px$ 的焦点坐标为 $(\frac{p}{2},0)$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

1. 确定交点坐标： 将 $x=2$ 代入抛物线方程 $y^2=2px$，得 $y^2=4p$。 由于 $p>0$，设 $D(2,2\sqrt{p})$，$E(2,-2\sqrt{p})$。

2. 建立垂直等式： 因为 $OD\perp OE$，根据向量数量积或斜率关系： $\overrightarrow{OD}\cdot \overrightarrow{OE}=(2)(2)+(2\sqrt{p})(-2\sqrt{p})=0$ $4-4p=0⟹p=1$。

3. 求焦点坐标： 当 $p=1$ 时，抛物线方程为 $y^2=2x$。 其焦点坐标为 $(\frac{p}{2},0)=(\frac{1}{2},0)$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 常见模型： 在抛物线 $y^2=2px$ 中，若过原点的两直线 $OA\perp OB$ 且 $A,B$ 在抛物线上，则直线 $AB$ 恒过定点 $(2p,0)$。本题是该模型的一个特例（直线 $AB$ 为 $x=2$），反推 $2p=2⟹p=1$ 亦可快速求解。
• 概念混淆点： 很多同学算出 $p=1$ 后直接选了 C，忘了焦点是 $\frac{p}{2}$。在填空选择中一定要看清题目要求的是 $p$、$2p$ 还是焦点坐标。
• 图形直观： 直角三角形 $ODE$ 的高（$x=2$）等于底边一半的性质，直接导出 $y_D=2$ 是最快的思维路径。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目改为 “直线过焦点且 $OD\perp OE$”，这在开口向右的抛物线中是不可能的（因为焦点弦对应的原点张角总是钝角）。这种对“张角性质”的掌握，能帮助我们在更复杂的解析几何大题中快速判断结论的正确性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性
• 2010-安徽卷文-12 填-抛物线的焦点
• 2012-上海卷文-21 解-抛物线应用建模最值