2020-全国卷III理-11 单-焦点三角形

本题导读

本题考查双曲线的定义，以及a

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(理)）11. 设双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，离心率为 $\sqrt{5}$。$P$ 是 $C$ 上一点，且 $F_{1}P\perp F_{2}P$。若 $△P{F}_1{F}_2$ 的面积为 4，则 $a=$（ ）

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 8

🔍【思路分析】

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1. 转化已知条件：

• 离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}⟹c^2=5a^2$。

• 设 $|P{F}_1|=m,|P{F}_2|=n$，由双曲线定义知：$|m-n|=2a$。

2. 利用直角三角形性质：

• 因为 $F_{1}P\perp F_{2}P$，由勾股定理得：$m^2+n^2=(2c{)}^2=4c^2$。
• 面积 $S=\frac{1}{2}mn=4⟹mn=8$。

3. 构建 $a$ 的方程：

• 利用完全平方公式变形：$m^2+n^2=(m-n{)}^2+2mn$。
• 代入 $4c^2=(2a{)}^2+2(8)$，将 $c^2$ 换成 $5a^2$ 即可解出 $a$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 建立基本关系： 设 $|P{F}_1|=m,|P{F}_2|=n$。 根据双曲线定义：$|m-n|=2a$ ① 根据 $F_{1}P\perp F_{2}P$ 及面积为 4： $S=\frac{1}{2}mn=4⟹mn=8$ ② 由勾股定理：$m^2+n^2=|F_1{F}_2{|}^2=(2c{)}^2=4c^2$ ③

2. 恒等变形求解： 将 ③ 式变形为：$(m-n{)}^2+2mn=4c^2$ 将 ① 和 ② 代入： $(2a{)}^2+2\times 8=4c^2$ $4a^2+16=4c^2$ 化简得：$a^2+4=c^2$

3. 利用离心率消元： 已知 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}⟹c^2=5a^2$。 代入上式： $a^2+4=5a^2$ $4a^2=4⟹a^2=1$ 由于 $a>0$，故 $a=1$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 焦点三角形面积公式（常用结论）： 对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，若 $\angle F_{1}P{F}_2=\theta$，则 $S_{△P{F}_1{F}_2}=\frac{b^2}{\tan (\theta /2)}$。
  • 本题中 $\theta =90^{\circ }$，则 $S=\frac{b^2}{\tan 45^{\circ }}=b^2$。
  • 已知 $S=4$，故 $b^2=4$。
  • 又 $c^2=a^2+b^2$ 且 $c^2=5a^2$，则 $5a^2=a^2+4⟹4a^2=4⟹a=1$。
• 定义的威力： 圆锥曲线的很多复杂问题，回归到定义（距离之差或距离之和）往往能化繁为简。
• 计算注意： 离心率给出的是 $c/a$ 的比值，不要把 $c^2=a^2+b^2$ 写成了椭圆的 $a^2=b^2+c^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目问的是 “点 $P$ 的纵坐标”，在求得 $a=1,b=2$ 后，$b^2=4$ 其实就是面积。在直角焦点三角形中，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离（高 $h$）满足 $S=\frac{1}{2}\cdot 2c\cdot h=ch$。即 $h=S/c=4/\sqrt{5}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2013-湖南卷文-14 填-双曲线焦点三角形