2013-湖南卷文-14 填-双曲线焦点三角形

本题导读

本题考查双曲线的定义，以及双曲线的离心率。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(文)） 设 $F_1$，$F_2$ 是双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的两个焦点. 若在 $C$ 上存在一点 $P$，使 $P{F}_1\perp P{F}_2$，且 $\angle P{F}_1{F}_2=30^{\circ }$，则 $C$ 的离心率为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 直角三角形斜边 $F_1{F}_2=2c$：$P{F}_1=2c\cos 30^{\circ }=\sqrt{3}c$，$P{F}_2=2c\sin 30^{\circ }=c$。
2. 双曲线定义：$|P{F}_1-P{F}_2|=2a$，即 $(\sqrt{3}-1)c=2a$。
3. $e=\frac{2c}{2a}=\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1$。

✅【答案】

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$\sqrt{3}+1$

✍【详细解析】

Abstract

在直角 $△P{F}_1{F}_2$ 中，$\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$，$\angle P{F}_1{F}_2=30^{\circ }$，斜边 $F_1{F}_2=2c$。 $P{F}_1=2c\cos 30^{\circ }=\sqrt{3}c,P{F}_2=2c\sin 30^{\circ }=c.$ $P$ 在双曲线上，由双曲线的定义： $|P{F}_1-P{F}_2|=2a\Rightarrow (\sqrt{3}-1)c=2a.$ 故离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{2}=\sqrt{3}+1.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的焦点三角形（离心率）

核心方法：$P{F}_1\perp P{F}_2$，$\angle P{F}_1{F}_2=30^{\circ }$ → 直角三角形中 $P{F}_1=2c\cos 30^{\circ }=\sqrt{3}c$，$P{F}_2=2c\sin 30^{\circ }=c$；双曲线用距离差：$\sqrt{3}c-c=2a$ → $e=\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1$

避坑指南：双曲线上一点到两焦点的距离之差为 $2a$（椭圆才是和）——把 $P{F}_1+P{F}_2=2a$ 用在这里就全错；$30^{\circ }$ 直角三角形三边比 $1:\sqrt{3}:2$，斜边是 $F_1{F}_2=2c$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线的定义与离心率（焦点直角三角形，湖南卷填空）。

结论推广：焦点三角形边角关系；定义 $|P{F}_1-P{F}_2|=2a$。

方法推广：解直角三角形表 $P{F}_1,P{F}_2$ → 用距离差列式 → 求 $e$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-07 单-双曲线离心率充要
• 2013-新课标I卷文-04 单-双曲线渐近线
• 2013-湖北卷文-02 单-双曲线焦距