2020-北京卷-08 单-数列单调性

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及数列积的符号判定。

📌【题干】

Question

（2020年北京卷）8. 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=-9$，$a_5=-1$。记 $T_n=a_1{a}_2\dots a_n(n=1,2,\dots )$，则数列 $\{T_n\}$ （ ）

A. 有最大项，有最小项　　　　　　　　　B. 有最大项，无最小项

C. 无最大项，有最小项　　　　　　　　　D. 无最大项，无最小项

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出通项公式： 利用 $a_1,a_5$ 求出公差 $d$，进而得到 $a_n$。

2. 分析 $a_n$ 的符号分布：

• 找出数列中有多少个负项，多少个正项，是否有项等于 0。
• 只有偶数个负项相乘时，$T_n$ 才为正；奇数个负项相乘时，$T_n$ 为负。

3. 分析 $T_n$ 的变化趋势：

• 当 $n$ 很大时，由于 $a_n=2n-11$，后续项会越来越大且为正。
• 观察当 $a_n>1$ 后，$T_n$ 的绝对值会如何变化。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】 第一步：确定数列 $\{a_n\}$ 设公差为 $d$，则 $a_5=a_1+4d⟹-1=-9+4d⟹d=2$。 通项公式：$a_n=-9+(n-1)\times 2=2n-11$。 罗列前几项： $a_1=-9,a_2=-7,a_3=-5,a_4=-3,a_5=-1$（共 5 个负项） $a_6=1$ $a_7=3,a_8=5,\dots$（此后各项均为大于 1 的正数）

第二步：分析 $T_n$ 的正负与大小

• 正项部分： 当 $n$ 为偶数且 $n\le 4$ 时，负项个数为偶数，$T_n>0$。 $T_2=(-9)\times (-7)=63$ $T_4=(-9)\times (-7)\times (-5)\times (-3)=945$ 当 $n\ge 6$ 时，负项个数固定为 5 个（奇数），且其余项 $a_6,a_7\dots$ 均为正数。 故当 $n\ge 5$ 时，$T_n<0$ 恒成立。 由于正项只有有限个（$T_2,T_4$），且 $T_4>T_2$，故 $T_4$ 为最大项。

• 负项部分（最小值判断）： 当 $n\ge 6$ 时，$T_n=T_5\times (a_6\cdot a_7\cdot \cdots \cdot a_n)$。 已知 $T_5=(-9)(-7)(-5)(-3)(-1)=-945$。 而对于 $i\ge 7$，$a_i\ge 3>1$。 随着 $n$ 的增大，$T_n$ 是由一个负数不断乘以大于 1 的正数。 因此 $T_n$ 会向负无穷方向无限减小（即 $T_n\to -\infty$）。 故数列 $\{T_n\}$ 没有最小项。

综上所述，数列 $\{T_n\}$ 有最大项，无最小项。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 积的单调性： 对于积序列 $T_n$，判定增减的关键是看新乘入的项 $a_n$ 与 $1$ 的关系（若 $T_{n-1}>0$）或与 $-1$ 的关系。
• 符号的“开关”作用： 每一个负项的加入都会改变积的符号。在本题中，由于负数项只有 5 个，这意味着从 $T_5$ 开始，所有的 $T_n$ 永远被锁死在负数半轴上。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 最大项： 通常出现在负数项个数为偶数且绝对值较大的位置，或者是正数项且该项之后开始出现小于 1 的正数时。
2. 趋向性： - 若 $|a_n|\to \infty$，则 $|T_n|\to \infty$。

• 若 $|a_n|\to 0$，则 $|T_n|\to 0$。
• 若 $|a_n|\to 1$，则需要更精细的判别。

3. 北京卷风格： 这种题目考查的不是死记硬背公式，而是手动罗列前几项观察规律的能力。在考场上，写出前 7 项 $a_n$ 的值，答案便呼之欲出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和