2020-北京卷-09 单-三角方程

本题导读

本题考查三角函数的诱导公式，以及正弦函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2020年北京卷）9. 已知 $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$，则“存在 $k\in \mathbb{Z}$ 使得 $\alpha =k\pi +(-1{)}^k\beta$”是“$\sin \alpha =\sin \beta$”的（ ）

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 充分性（由左推右）： 将 $k$ 分为奇数和偶数两类，利用诱导公式 $\sin (k\pi +\theta )$ 的性质，看 $\sin \alpha$ 是否恒等于 $\sin \beta$。

2. 必要性（由右推左）： 根据正弦函数的对称性，$\sin \alpha =\sin \beta$ 意味着 $\alpha$ 与 $\beta$ 的终边关系有两种情况：

• 情况 1：终边相同，$\alpha =2m\pi +\beta$。
• 情况 2：终边关于 $y$ 轴对称，$\alpha =(2m+1)\pi -\beta$。 尝试将这两类结论统一为题干中的形式。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】 第一步：验证充分性 已知 $\alpha =k\pi +(-1{)}^k\beta ,k\in \mathbb{Z}$。

• 若 $k$ 为偶数，设 $k=2m(m\in \mathbb{Z})$： $\alpha =2m\pi +(-1{)}^{2m}\beta =2m\pi +\beta$。 此时 $\sin \alpha =\sin (2m\pi +\beta )=\sin \beta$。
• 若 $k$ 为奇数，设 $k=2m+1(m\in \mathbb{Z})$： $\alpha =(2m+1)\pi +(-1{)}^{2m+1}\beta =(2m+1)\pi -\beta$。 此时 $\sin \alpha =\sin [(2m\pi )+(\pi -\beta )]=\sin (\pi -\beta )=\sin \beta$。 结论：充分性成立。

第二步：验证必要性 已知 $\sin \alpha =\sin \beta$。 由正弦函数的性质可知，$\alpha$ 与 $\beta$ 的关系为： $\alpha =\beta +2m\pi$ 或 $\alpha =\pi -\beta +2m\pi (m\in \mathbb{Z})$。

• 对于 $\alpha =2m\pi +\beta$，可写成 $\alpha =(2m)\pi +(-1{)}^{2m}\beta$。
• 对于 $\alpha =(2m+1)\pi -\beta$，可写成 $\alpha =(2m+1)\pi +(-1{)}^{2m+1}\beta$。 观察发现，无论哪种情况，均可统一表示为 $\alpha =k\pi +(-1{)}^k\beta (k\in \mathbb{Z})$。 结论：必要性成立。

综上所述，原命题是充分必要条件。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 三角通解的两种形式： - 分离式：$\alpha =2k\pi +\beta$ 或 $\alpha =(2k+1)\pi -\beta$。

• 统一式：$\alpha =k\pi +(-1{)}^k\beta$。 虽然分离式更直观，但统一式在解决某些参数方程或不等式时具有代数简洁美。

• 北京卷的命题逻辑： 北京卷喜欢考查基础公式的“等价性”，这种题不需要高深技巧，但要求对基本定义的理解不能有盲区。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 正弦 ($\sin$)： 终边关系为“相同”或“关于 $y$ 轴对称”。统一公式见本题。
2. 余弦 ($\cos$)： 若 $\cos \alpha =\cos \beta$，则 $\alpha =2k\pi \pm \beta$。终边关系为“相同”或“关于 $x$ 轴对称”。
3. 正切 ($\tan$)： 若 $\tan \alpha =\tan \beta$，则 $\alpha =k\pi +\beta$。终边关系为“相同”或“关于原点对称”。 在考场上，如果遇到类似关于 $\cos$ 或 $\tan$ 的充要条件判定，直接套用上述对称性规律即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1991-全国卷理-05
• 2004-浙江理-08 单-充分必要条件的判定
• 1983-全国卷理-04