2020-北京卷-10 单-算术平均数

本题导读

本题考查正多边形的性质，以及三角函数的几何定义。

📌【题干】

Question

（2020年北京卷）10. 2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日 ($\pi$ Day)。历史上，求圆周率 $\pi$ 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似。数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 $n$ 充分大时，计算单位圆的内接正 $6n$ 边形的周长和外切正 $6n$ 边形（各边均与圆相切的正 $6n$ 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 $2\pi$ 的近似值。按照阿尔·卡西的方法，$\pi$ 的近似值的表达式是（ ）

A. $3n\left(\sin \frac{30^{\circ }}{n}+\tan \frac{30^{\circ }}{n}\right)$　　　　　　　　　　　B. $6n\left(\sin \frac{30^{\circ }}{n}+\tan \frac{30^{\circ }}{n}\right)$

C. $3n\left(\sin \frac{60^{\circ }}{n}+\tan \frac{60^{\circ }}{n}\right)$　　　　　　　　　　　D. $6n\left(\sin \frac{60^{\circ }}{n}+\tan \frac{60^{\circ }}{n}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析几何模型：

• 单位圆：半径 $R=1$。
• 正 $6n$ 边形：总边数为 $6n$。
• 每个边对应的中心角为 $\theta =\frac{360^{\circ }}{6n}=\frac{60^{\circ }}{n}$。

2. 计算内接正 $6n$ 边形周长 $L_1$：

• 取其中一个等腰三角形（圆心与一条边的两端点连线），顶角为 $\frac{60^{\circ }}{n}$。
• 过圆心作底边垂线，在直角三角形中，底边的一半为 $R\sin \frac{30^{\circ }}{n}=\sin \frac{30^{\circ }}{n}$。
• 单边长 $a=2\sin \frac{30^{\circ }}{n}$，总周长 $L_1=6n\times 2\sin \frac{30^{\circ }}{n}=12n\sin \frac{30^{\circ }}{n}$。

3. 计算外切正 $6n$ 边形周长 $L_2$：

• 此时圆的半径 $R=1$ 是直角三角形的一条直角边（对应边心距）。
• 单边长的一半为 $R\tan \frac{30^{\circ }}{n}=\tan \frac{30^{\circ }}{n}$。
• 单边长 $b=2\tan \frac{30^{\circ }}{n}$，总周长 $L_2=6n\times 2\tan \frac{30^{\circ }}{n}=12n\tan \frac{30^{\circ }}{n}$。

4. 求解 $\pi$： 根据题意，$2\pi \approx \frac{L_1+L_2}{2}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】 在单位圆（$R=1$）中，正 $6n$ 边形共有 $6n$ 条边。 每条边所对的圆心角为 $\frac{360^{\circ }}{6n}=\frac{60^{\circ }}{n}$，其一半为 $\frac{30^{\circ }}{n}$。

1. 内接正 $6n$ 边形： 边长 $a=2\times 1\times \sin \frac{30^{\circ }}{n}=2\sin \frac{30^{\circ }}{n}$。 周长 $L_{\text{内}}=6n\times 2\sin \frac{30^{\circ }}{n}=12n\sin \frac{30^{\circ }}{n}$。

2. 外切正 $6n$ 边形： 边长 $b=2\times 1\times \tan \frac{30^{\circ }}{n}=2\tan \frac{30^{\circ }}{n}$。 周长 $L_{\text{外}}=6n\times 2\tan \frac{30^{\circ }}{n}=12n\tan \frac{30^{\circ }}{n}$。

3. 近似计算： 根据阿尔·卡西的方法： $2\pi \approx \frac{12n\sin \frac{30^{\circ }}{n}+12n\tan \frac{30^{\circ }}{n}}{2}$ $2\pi \approx 6n\left(\sin \frac{30^{\circ }}{n}+\tan \frac{30^{\circ }}{n}\right)$ 两边同时除以 2 得： $\pi \approx 3n\left(\sin \frac{30^{\circ }}{n}+\tan \frac{30^{\circ }}{n}\right)$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 审题细致： 注意题目给出的平均值是 $2\pi$ 的近似值，最后问的是 $\pi$。这是此类题最容易丢分的地方。
• 图形还原： 区分内接（斜边为 $R$）和外切（直角边为 $R$）的三角函数关系。内接用 $\sin$，外切用 $\tan$。
• 数学素养： 北京卷压轴题不一定考查超纲技巧，但一定考查将陌生语言转化为数学语言的能力。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 阿基米德与祖冲之： 阿尔·卡西（15世纪）的方法实际上是对阿基米德（前3世纪）和祖冲之（5世纪）“夹逼法”的继承。
2. 极限视角： 当 $n\to \infty$ 时，$\frac{30^{\circ }}{n}\to 0$。 利用无穷小替换 $\sin x\approx x$ 和 $\tan x\approx x$（弧度制下）： $\pi \approx 3n(\frac{\pi /6}{n}+\frac{\pi /6}{n})=3n\times \frac{\pi }{3n}=\pi$。 这验证了该公式在理论上的正确性。
3. 计算器时代的思考： 这种近似方法在古代极大提高了精度，阿尔·卡西曾以此求出圆周率 16 位小数，打破了祖冲之保持近千年的记录。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷理-20
• 2008-山东卷理-08
• 2008-新课标卷文-19 解-平均数与古典概型