2020-北京卷-11 填-函数定义域

本题导读

本题考查函数定义域的求法，以及对数函数的性质。

📌【题干】

Question

（2020年北京卷）11. 函数 $f(x)=\frac{1}{x+1}+\ln x$ 的定义域是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别限制条件： 函数解析式由两部分组成，必须同时满足以下条件：

• 分式部分 $\frac{1}{x+1}$：分母不能为零，即 $x+1\ne 0$。
• 对数部分 $\ln x$：真数必须大于零，即 $x>0$。

2. 联立求解： 将上述条件列为不等式组，求其交集。

✅【答案】

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$(0,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $(0,+\infty )$

【解析过程】 要使函数 $f(x)$ 有意义，自变量 $x$ 需满足：

$$\{\begin{array}{l}x+1\ne 0\\ x>0\end{array}$$

解得：

$$\{\begin{array}{l}x\ne -1\\ x>0\end{array}$$

由于 $x>0$ 时，恒有 $x\ne -1$， 因此不等式组的解集为 $\{x\mid x>0\}$。 用区间表示为 $(0,+\infty )$。

故答案为：$(0,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 定义域的三大“法宝”：
  1. 分式：分母 $f(x)\ne 0$。
  2. 根式：偶次根下 $g(x)\ge 0$。
  3. 对数：真数 $h(x)>0$，底数 $>0$ 且 $\ne 1$。
• 书写规范： 填空题的定义域结果务必写成区间或集合的形式，直接写不等式（如 $x>0$）在某些阅卷标准下可能会被扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 复合函数： 若已知 $f(x)$ 的定义域，求 $f[g(x)]$ 的定义域，需令 $g(x)$ 落在 $f(x)$ 的定义域范围内。
2. 零指数幂： 若解析式含有 $[g(x){]}^0$，需满足 $g(x)\ne 0$。
3. 实际背景： 在应用题中，定义域除了受解析式限制，还受实际物理量（如长度、时间必须为正）的限制。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-16 填-指数函数、函数的单调性与零点
• 1977-福建卷-01(3)
• 2004-重庆理-01 单-函数定义域