2020-天津卷-08 单-三角函数平移

本题导读

本题考查正弦函数的周期性，以及正弦函数的最值条件。

📌【题干】

Question

（2020年天津卷）8. 已知函数 $f(x)=\sin (x+\frac{\pi }{3})$。给出下列结论：

① $f(x)$ 的最小正周期为 $2\pi$；

② $f(\frac{\pi }{2})$ 是 $f(x)$ 的最大值；

③ 把函数 $y=\sin x$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度，可得到函数 $y=f(x)$ 的图象。

其中所有正确结论的序号是（ ）

A. ①　　　　　　　B. ①③　　　　　　　C. ②③　　　　　　　D. ①②③

🔍【思路分析】

破题导航

1. 周期判定： 利用公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。观察 $f(x)=\sin (1\cdot x+\frac{\pi }{3})$ 中的 $\omega$ 值。

2. 最值校验： 判断 $f(x_0)$ 是否为最大值，只需看此时的相位是否满足 $\sin (\dots )=1$。即校验 $x_0+\varphi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$。

3. 图象平移： 遵循“左加右减”原则。向左平移 $m$ 个单位，即用 $(x+m)$ 替换解析式中的 $x$。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

1. 分析结论 ①： 函数 $f(x)=\sin (x+\frac{\pi }{3})$ 中，$\omega =1$。 最小正周期 $T=\frac{2\pi }{1}=2\pi$。 故 ① 正确。

2. 分析结论 ②： 计算 $x=\frac{\pi }{2}$ 时的函数值： $f(\frac{\pi }{2})=\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3})=\sin (\frac{5\pi }{6})=\frac{1}{2}$。 而正弦函数的最大值为 $1$，由于 $\frac{1}{2}\ne 1$， 故 ② 错误。

3. 分析结论 ③： 将 $y=\sin x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度， 根据“左加”原则，解析式变为 $y=\sin (x+\frac{\pi }{3})$。 这正好是 $f(x)$ 的解析式， 故 ③ 正确。

综上所述，正确结论序号为 ①③。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 最值的快捷判定： 以后遇到“$f(x_0)$ 是最大值”的结论，可以直接把 $x_0$ 代入相位中。如果相位结果不是 $\frac{\pi }{2}+2k\pi$，则结论必错。
• 平移的单位陷阱： 如果 $\omega \ne 1$（例如 $f(x)=\sin (2x+\frac{\pi }{3})$），那么向左平移 $\frac{\pi }{3}$ 得到的是 $\sin [2(x+\frac{\pi }{3})]$ 即 $\sin (2x+\frac{2\pi }{3})$。务必记住平移是针对 $x$ 变量本身的。
• 排除法： 在选择题中，一旦判定 ① 对、② 错，选项就只剩下 A 和 B，此时只需校验 ③ 即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 单调区间： 求 $f(x)$ 的增区间，令 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le x+\frac{\pi }{3}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi$。
2. 对称轴/对称中心： 对称轴处取得最值（相位为 $\frac{\pi }{2}+k\pi$）；对称中心处函数值为 0（相位为 $k\pi$）。
3. 性质综合： 可能会结合奇偶性（$\varphi =k\pi$ 时为奇，$\varphi =k\pi +\frac{\pi }{2}$ 时为偶）。

快速求解： $f(\frac{\pi }{2})=\sin 150^{\circ }=0.5$，显然不是最大值。排除所有含 ② 的选项（C, D），① 显然正确，判断 ③ 的平移规则，选 B。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2010-辽宁卷文-06 单-三角图象平移与周期
• 1986-全国理-04 单-二倍角与函数性质
• 1987-全国卷理-06 单-三角函数的图象变换