2010-辽宁卷文-06 单-三角图象平移与周期

本题导读

考查图象平移与周期。$\frac{4\pi }{3}=k\cdot \frac{2\pi }{\omega }$，$\omega =\frac{3k}{2}$，最小值 $\frac{3}{2}$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(文)） 设 $\omega >0$，函数 $y=\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{3}\right)+2$ 的图象向右平移 $\frac{4\pi }{3}$ 个单位后与原图象重合，则 $\omega$ 的最小值是()

A. $\frac{2}{3}$　　　　　　　B. $\frac{4}{3}$　　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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1. 重合 $⟺\frac{4\pi }{3}$ 是周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 的正整数倍。
2. $\frac{4\pi }{3}=k\cdot \frac{2\pi }{\omega }\Rightarrow \omega =\frac{3k}{2}$。
3. $k=1$ 时 $\omega$ 取最小值 $\frac{3}{2}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

函数周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$。 图象向右平移 $\frac{4\pi }{3}$ 个单位后与原图象重合， 等价于 $\frac{4\pi }{3}$ 是 $T$ 的正整数倍： $\frac{4\pi }{3}=kT=k\cdot \frac{2\pi }{\omega }(k\in {\mathbf{N}}^{\ast }),$ 解得 $\omega =\frac{3k}{2}$。 $k=1$ 时 $\omega$ 取最小值 $\frac{3}{2}$，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角图象平移与周期性

核心方法：平移重合 $⟺$ 平移量为正周期整数倍

避坑指南：向右平移 $\frac{4\pi }{3}$ 重合对应 $kT=\frac{4\pi }{3}$ 而非 $\frac{T}{k}$；$\omega$ 最小对应 $k=1$，方向反了会错选 D（$k=2$ 对应 $\omega =3$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：周期函数 $f(x)$ 平移 $a$ 后与原图象重合 $⟺a=kT$。

结论推广：$T=\frac{2\pi }{\omega }$，$\omega$ 越大周期越小。

方法推广：平移量含 $\omega$ 时先写通式再取最小正整数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-07 单-三角图象平移对称
• 2009-山东卷文-03 单-三角图象平移
• 2009-大纲卷II文-09 单-正切图象平移重合
• 2009-新课标卷文-16 填-正弦图象定参求值