2020-天津卷-11 填-幂的运算

本题导读

本题考查二项式定理展开式，以及通项公式

📌【题干】

Question

（2020年天津卷）11. 在 $(x+\frac{2}{x^2}{)}^5$ 的展开式中，$x^2$ 的系数是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 写出通项公式： 对于 $(a+b{)}^n$ 的展开式，第 $r+1$ 项为： $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 本题中 $a=x,b=2x^{-2},n=5$。

2. 整理 $x$ 的指数： 将通项中的常数项与 $x$ 的幂次分开，合并 $x$ 的指数得到关于 $r$ 的一次式。

3. 建立方程： 令 $x$ 的指数等于题目要求的 $2$，解出 $r$ 的值（注意 $r$ 必须是 $0$ 到 $5$ 之间的整数）。

4. 计算系数： 将解出的 $r$ 代入常数部分即可。

✅【答案】

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10

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 10

【解析过程】

1. 写出通项公式 $T_{r+1}$： $T_{r+1}=C_5^r\cdot x^{5-r}\cdot {\left(\frac{2}{x^2}\right)}^r$ $T_{r+1}=C_5^r\cdot x^{5-r}\cdot 2^r\cdot x^{-2r}$

2. 合并同底数幂： $T_{r+1}=C_5^r\cdot 2^r\cdot x^{5-r-2r}=C_5^r\cdot 2^r\cdot x^{5-3r}$

3. 求解 $r$： 题目要求 $x^2$ 的系数，令 $5-3r=2$。 解得 $3r=3⟹r=1$。

4. 计算系数： 将 $r=1$ 代入系数部分 $C_5^r\cdot 2^r$： $\text{系数}=C_5^1\cdot 2^1=5\times 2=10$

故答案为：10。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心公式： $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。注意是第 $r+1$ 项。
• 指数运算： 熟练掌握 $(x^m{)}^n=x^{mn}$ 和 $x^m\cdot x^n=x^{m+n}$。本题中 $\frac{1}{x^2}$ 写成 $x^{-2}$ 会让计算更清晰。
• 系数与二项式系数： * 二项式系数仅指 $C_n^r$。
  • 系数是指项中除去 $x$ 幂次后的全部常数部分（本题为 $C_5^r\cdot 2^r$）。
  • 审题时一定要分清这两者。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 求常数项： 令 $x$ 的指数为 $0$。
2. 所有项系数之和： 令 $x=1$ 代入解析式。
3. 二项式系数之和： 恒等于 $2^n$。

针对本题： 如果问“展开式中所有项的系数之和”，只需令 $x=1$，结果为 $(1+2{)}^5=3^5=243$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2018-天津卷理-10 填-二项式定理
• 1984-全国卷理-09
• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项