2018-天津卷理-10 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理展开式的通项公式，以及幂的运算法则与根式化简。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷理）在二项式 $(x-\frac{1}{2\sqrt{x}}{)}^5$ 的展开式中，$x^2$ 的系数为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式：利用二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，将 $a=x$，$b=-\frac{1}{2\sqrt{x}}$，$n=5$ 代入。

2. 整理 $x$ 的指数：将根式化为指数幂形式（$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$），合并所有关于 $x$ 的项，提取常数系数。

3. 建立方程：题目要求 $x^2$ 的系数，即令 $x$ 的综合指数等于 2，解出 $r$。

4. 计算系数：将求得的 $r$ 代入常数部分，得出最终结果。

✅【答案】

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$\frac{5}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{5}{2}$

【解析过程】

1. 构造通项公式：

二项式 $(x-\frac{1}{2\sqrt{x}}{)}^5$ 展开式的通项公式为：

$T_{r+1}=C_5^r\cdot x^{5-r}\cdot {\left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}^r$

2. 化简与整理：

将 $b$ 项拆分：${\left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}^r={\left(-\frac{1}{2}\right)}^r\cdot (x^{-\frac{1}{2}}{)}^r={\left(-\frac{1}{2}\right)}^r\cdot x^{-\frac{r}{2}}$

合并 $x$ 的指数：

$T_{r+1}=C_5^r\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^r\cdot x^{5-r}\cdot x^{-\frac{r}{2}}=C_5^r\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^r\cdot x^{5-\frac{3}{2}r}$

3. 求解 $r$ 值：

令 $x$ 的指数等于 2，得：

$5-\frac{3}{2}r=2⟹\frac{3}{2}r=3⟹r=2$

4. 计算系数：

将 $r=2$ 代入系数部分：

$\text{系数}=C_5^2\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{4}=\frac{5}{2}$

故填入：$\frac{5}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 负号的处理：二项式 $(a-b{)}^n$ 展开时，建议将负号看作 $b$ 的一部分，即 $b=(-b)$，并在计算通项时带入括号，防止在偶数次方或奇数次方时漏掉符号。

2. 指数运算准确性：$\sqrt{x}$ 在分母上对应 $x^{-\frac{1}{2}}$。合并指数 $5-r-\frac{1}{2}r=5-\frac{3}{2}r$ 是计算的关键。

3. 系数与二项式系数的区别：

• 二项式系数：仅指 $C_n^r$。

• 系数：项中除了 $x$ 幂次以外的所有常数部分（包括符号和常数数值）。

🚀 【下一步建议】

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📖【试题探源与推广】

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1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2020-天津卷-11 填-幂的运算

• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项

• 2005-山东卷理-05 单-二项式定理