2020-天津卷-15 填-二次函数最值

本题导读

本题考查平面向量数量积的定义。核心在于坐标运算法、二次函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年天津卷）15. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$\angle B=60^{\circ },AB=3,BC=6$，且 $\overrightarrow{AD}=\lambda \overrightarrow{BC},\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=-\frac{3}{2}$，则实数 $\lambda$ 的值为 $\underline{}$；若 $M,N$ 是线段 $BC$ 上的动点，且 $|\overrightarrow{MN}|=1$，则 $\overrightarrow{DM}\cdot \overrightarrow{DN}$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一空（求 $\lambda$）：

• 由 $\overrightarrow{AD}=\lambda \overrightarrow{BC}$ 可知 $AD\parallel BC$，即四边形 $ABCD$ 为梯形。

• $\angle DAB=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$。

• 利用公式 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{AB}|\cos 120^{\circ }=-\frac{3}{2}$，代入已知长度求解。

2. 第二空（求最小值）：

• 坐标化： 以 $B$ 为原点，$BC$ 为 $x$ 轴建立系。

• 写点： 确定 $A,B,C,D$ 各点的坐标。

• 设参数： 设 $M$ 点坐标为 $(x,0)$，由于 $MN=1$，则 $N$ 点为 $(x+1,0)$。注意 $x$ 的取值范围由 $M,N$ 在线段 $BC$ 上决定。

• 构造函数： 将 $\overrightarrow{DM}\cdot \overrightarrow{DN}$ 写成关于 $x$ 的二次函数，求其在指定区间内的最小值。

✅【答案】

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$\frac{1}{6}$；$\frac{13}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解第一空：

1. 因为 $\overrightarrow{AD}=\lambda \overrightarrow{BC}$，所以 $AD\parallel BC$。

则 $\angle DAB=180^{\circ }-\angle B=120^{\circ }$。

2. $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AD}|\cdot |\overrightarrow{AB}|\cdot \cos 120^{\circ }=-\frac{3}{2}$。

已知 $|\overrightarrow{AB}|=3,|\overrightarrow{AD}|=\lambda |\overrightarrow{BC}|=6\lambda$。

代入得：$6\lambda \cdot 3\cdot (-\frac{1}{2})=-\frac{3}{2}$。

$-9\lambda =-\frac{3}{2}⟹\lambda =\frac{1}{6}$。

（2）解第二空：

1. 建立坐标系：

以 $B$ 为原点，射线 $BC$ 为 $x$ 轴正方向，建立平面直角坐标系。

• $B(0,0),C(6,0)$。

• $A(3\cos 60^{\circ },3\sin 60^{\circ })=(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2})$。

• $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}=(1,0)$。

• $D=A+(1,0)=(\frac{5}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2})$。

2. 动点坐标：

设 $M(x,0),N(x+1,0)$。

由于 $M,N$ 在 $BC$ 上，且 $BC=6$，则 $0\le x\le x+1\le 6$，即 $x\in [0,5]$。

3. 数量积函数化：

$\overrightarrow{DM}=(x-\frac{5}{2},-\frac{3\sqrt{3}}{2})$

$\overrightarrow{DN}=(x+1-\frac{5}{2},-\frac{3\sqrt{3}}{2})=(x-\frac{3}{2},-\frac{3\sqrt{3}}{2})$

$\overrightarrow{DM}\cdot \overrightarrow{DN}=(x-\frac{5}{2})(x-\frac{3}{2})+(-\frac{3\sqrt{3}}{2}{)}^2$

$=x^2-4x+\frac{15}{4}+\frac{27}{4}$

$=x^2-4x+\frac{42}{4}=x^2-4x+\frac{21}{2}$

4. 求最小值：

$f(x)=(x-2{)}^2-4+\frac{21}{2}=(x-2{)}^2+\frac{13}{2}$。

当 $x=2$ 时（在 $[0,5]$ 范围内），$f(x)$ 取得最小值 $\frac{13}{2}$。

故答案为：$\frac{1}{6}$；$\frac{13}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 建系的优势： 涉及动点且动点运动路径在直线上的题目，坐标法比几何法（基底分解）往往更具操作性，因为它能将几何最值直接转化为代数最值。

• 细节决定成败： * 夹角的选择：$\overrightarrow{AD}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 是共起点向量，夹角为 $\angle DAB$。

• 二次函数的顶点：一定要检查顶点横坐标是否在定义的区间内。

• 几何意义： $\overrightarrow{DM}\cdot \overrightarrow{DN}$ 可以看作点 $D$ 到线段 $MN$ 的投影关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

近年来，天津卷开始尝试将向量与圆、椭圆结合。

• 变式： 如果 $M,N$ 是圆上的动点且弧长固定，或者 $D$ 点在曲线上运动。

• 技巧： 无论题目如何变，保持“坐标化”的思维不动摇，将复杂的几何描述翻译成坐标表达式，往往能发现其中的函数规律。

本题计算提示： 求 $\overrightarrow{DM}\cdot \overrightarrow{DN}$ 时，可以设 $MN$ 的中点为 $P(x+0.5,0)$。利用极化恒等式：$\overrightarrow{DM}\cdot \overrightarrow{DN}=|\overrightarrow{DP}{|}^2-\frac{1}{4}|\overrightarrow{MN}{|}^2$。

由于 $|\overrightarrow{MN}|=1$，只需最小化 $D$ 到 $MN$ 中点 $P$ 的距离平方。

$D(\frac{5}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2})$ 到 $x$ 轴的最短距离发生在 $x$ 坐标相等处。

令 $P$ 的横坐标 $x+0.5=2.5⟹x=2$，此时距离最短。

$|\overrightarrow{DP}{|}_{min}^2=(\frac{3\sqrt{3}}{2}{)}^2=\frac{27}{4}$。

最小值 $=\frac{27}{4}-\frac{1}{4}=\frac{26}{4}=\frac{13}{2}$。这种方法比直接展开更具“高级感”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算

• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算

• 2005-上海卷理-19 解-椭圆的标准方程与几何性质