2020-天津卷-19 解-数列求和

本题导读

本题考查等差、等比数列通项公式。核心在于待定系数法、构造法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年天津卷）已知 $\{a_n\}$ 为等差数列，$\{b_n\}$ 为等比数列，$a_1=b_1=1$，$a_5=5(a_4-a_3)$，$b_5=4(b_4-b_3)$。

（1）求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式；

（2）记 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，求证：$S_n{S}_{n+2}<S_{n+1}^2$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)；

（3）对任意的正整数 $n$，设 $c_n=\{\begin{array}{ll}\frac{(3a_n-2)b_n}{a_n{a}_{n+2}},& n\text{ 为奇数}\\ \frac{a_{n-1}}{b_{n+1}},& n\text{ 为偶数}\end{array}$。求数列 $\{c_n\}$ 的前 $2n$ 项和。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：基础计算 利用等差数列公差 $d$ 和等比数列公比 $q$ 的定义，将已知等式代入通项公式即可。

2. 第二问：不等式证明 求出 $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$，利用作差法比较 $S_n{S}_{n+2}$ 与 $S_{n+1}^2$ 的大小。

3. 第三问：求和“大工程”

• 分组： 前 $2n$ 项和 $T_{2n}=\sum (\text{奇数项})+\sum (\text{偶数项})$。
• 奇数项处理： 观察其结构，尝试裂项。这种指数与分式结合的类型，通常裂项为 $\frac{2^k}{k+2}-\frac{2^{k-2}}{k}$ 形式。
• 偶数项处理： 结构为“等差 / 等比”，是标准的错位相减法模型。

✅【答案】

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$a_n=1+(n-1)\times 1=n$

✍【详细解析】

Abstract

1. 设 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。由 $a_5=5(a_4-a_3)$ 得： $1+4d=5d⟹d=1$。所以 $a_n=1+(n-1)\times 1=n$。
2. 设 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$。由 $b_5=4(b_4-b_3)$ 得： $q^4=4(q^3-q^2)$。由于 $q\ne 0$，两边除以 $q^2$ 得： $q^2-4q+4=0⟹(q-2{)}^2=0⟹q=2$。 所以 $b_n=2^{n-1}$。

由（Ⅰ）知 $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$。 要证 $S_n{S}_{n+2}<S_{n+1}^2$，即证 $S_n{S}_{n+2}-S_{n+1}^2<0$。 $S_n{S}_{n+2}-S_{n+1}^2=\frac{n(n+1)}{2}\cdot \frac{(n+2)(n+3)}{2}-{\left[\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right]}^2$ $=\frac{(n+1)(n+2)}{4}[n(n+3)-(n+1)(n+2)]$ $=\frac{(n+1)(n+2)}{4}[n^2+3n-(n^2+3n+2)]$ $=\frac{(n+1)(n+2)}{4}(-2)=-\frac{(n+1)(n+2)}{2}$。 因为 $n\ge 1$，所以该式恒小于 $0$。原不等式成立。

设前 $2n$ 项和为 $T_{2n}$。

1. 当 $n$ 为奇数时： $c_n=\frac{(3n-2)2^{n-1}}{n(n+2)}=\frac{2^{n+1}}{n+2}-\frac{2^{n-1}}{n}$ （裂项技巧）。 奇数项之和 $P_n=c_1+c_3+\cdots +c_{2n-1}$： $P_n=(\frac{2^2}{3}-\frac{2^0}{1})+(\frac{2^4}{5}-\frac{2^2}{3})+\cdots +(\frac{2^{2n}}{2n+1}-\frac{2^{2n-2}}{2n-1})=\frac{4^n}{2n+1}-1$。
2. 当 $n$ 为偶数时： $c_n=\frac{n-1}{2^n}$。令偶数项之和 $Q_n=c_2+c_4+\cdots +c_{2n}=\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^4}+\cdots +\frac{2n-1}{2^{2n}}$。 这是一个错位相减模型，设公比为 $1/4$： $\frac{3}{4}{Q}_n=\frac{1}{4}+\frac{2}{4^2}+\cdots +\frac{2}{4^n}-\frac{2n-1}{4^{n+1}}=\frac{5}{12}-\frac{6n+5}{3\cdot 4^{n+1}}$。 解得 $Q_n=\frac{5}{9}-\frac{6n+5}{9\cdot 4^n}$。
3. 总和： $T_{2n}=P_n+Q_n=\frac{4^n}{2n+1}-1+\frac{5}{9}-\frac{6n+5}{9\cdot 4^n}=\frac{4^n}{2n+1}-\frac{6n+5}{9\cdot 4^n}-\frac{4}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 裂项相消的观察： 第（Ⅲ）问中奇数项的裂项是难点。通常如果分母是 $n(n+2)$，分子含指数，可以尝试通项减法模型。
• 错位相减的准确性： 错位相减极其容易算错。建议在计算完 $Q_n$ 后，代入 $n=1$ 校验是否等于 $c_2=1/4$。
• 逻辑严谨性： 第三问求的是前 $2n$ 项和，通过奇偶分组恰好各有 $n$ 项，这个数量关系要点清。

📖【试题探源与推广】

Tip

第二问证明的 $S_{n+1}^2>S_n{S}_{n+2}$，实际上说明数列 $\{S_n\}$ 是对数凹数列。这在组合数学和解析不等式中是一个很重要的性质，天津卷常利用这种结构来考查放缩法。

处理 $c_n$ 为分段函数求和时，永远记住：“先分类，再各自求和，最后合并”。 如果题目要求前 $n$ 项和（$n$ 可能为奇也可能为偶），则需要分情况讨论结果；但本题要求前 $2n$ 项和，避开了这个讨论，降低了一点难度。

在高考考场上，这种高强度计算题建议保留中间步骤。例如 $Q_n$ 的计算中，公比的提取和等比数列求和公式的运用是扣分重灾区。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2021-天津卷-19 解-数列综合
• 2008-江西卷理-19
• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比