2020-新高考II卷-17 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理。核心在于边角互化法、余弦定理应用的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年新高考II卷）在① $ac=\sqrt{3}$，② $c\sin A=3$，③ $c=\sqrt{3}b$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 $c$ 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由。 问题：是否存在 $△ABC$，它的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，且 $\sin A=\sqrt{3}\sin B,C=\frac{\pi }{6}$，_____？ （注：此处选择条件①进行求解）

🔍【思路分析】

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1. 由 $\sin A=\sqrt{3}\sin B$ 结合正弦定理得 $a=\sqrt{3}b$。
2. 利用余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$，代入 $C=\frac{\pi }{6}$ 及 $a=\sqrt{3}b$ 求出 $c$ 与 $b$ 的关系。
3. 结合所选条件① $ac=\sqrt{3}$ 求出具体边长，并验证三角形的存在性。

✅【答案】

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$c=b$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sin A=\sqrt{3}\sin B$，根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，可得： $a=\sqrt{3}b$. 在 $△ABC$ 中，由余弦定理及 $C=\frac{\pi }{6}$ 得： $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=(\sqrt{3}b{)}^2+b^2-2(\sqrt{3}b)b\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $=3b^2+b^2-3b^2=b^2$. 因为 $b>0$，所以 $c=b$. 选择条件①：$ac=\sqrt{3}$。 因为 $a=\sqrt{3}b$ 且 $c=b$，代入得： $(\sqrt{3}b)\cdot b=\sqrt{3}⟹\sqrt{3}{b}^2=\sqrt{3}⟹b^2=1$. 因为 $b>0$，所以 $b=1$. 从而 $c=1$, $a=\sqrt{3}$. 此时三角形的三边长分别为 $a=\sqrt{3},b=1,c=1$. 其内角满足 $C=\frac{\pi }{6}$，且 $b+c=1+1=2>\sqrt{3}=a$，满足三角形两边之和大于第三边，故 $△ABC$ 存在。 因此，$c$ 的值为 $1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理、余弦定理、三角形存在性检验。
2. 核心方法：边角化简结合方程思想求解边长。
3. 避坑指南：求出边长后必须验证是否满足三角形两边之和大于第三边。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考解三角形解答题的经典开放选择题。
2. 结论推广：已知部分边角关系时，常利用正余弦定理建立关于边长的齐次方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理
• 2014-陕西卷文-16 解-解三角形