2020-新高考II卷-18 解-数列求和

本题导读

本题考查等比数列的通项公式。核心在于基本量法、等比数列求和公式的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年新高考II卷）已知公比大于 1 的等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_2+a_4=20,a_3=8$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 求 $a_1{a}_2-a_2{a}_3+\cdots +(-1{)}^{n-1}{a}_n{a}_{n+1}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设等比数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公比为 $q$（$q>1$），根据已知条件列出关于 $a_1,q$ 的方程组求解。
2. 将所求和式的通项设为 $b_n=(-1{)}^{n-1}{a}_n{a}_{n+1}$，分析其构成的新数列特征。
3. 利用等比数列求和公式计算前 $n$ 项和。

✅【答案】

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(1) $a_n=2^n$；

(2) $a_1{a}_2-a_2{a}_3+\cdots +(-1{)}^{n-1}{a}_n{a}_{n+1}=\frac{8}{5}\left[1-(-4{)}^n\right]$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$（$q>1$），首项为 $a_1$. 由已知条件可得： $\{\begin{array}{l}{a}_{1}q+a_1{q}^3=20\\ a_1{q}^2=8\end{array}$ 两式相比得： $\frac{a_{1}q(1+q^2)}{a_1{q}^2}=\frac{20}{8}⟹\frac{1+q^2}{q}=\frac{5}{2}$ $2q^2-5q+2=0⟹(2q-1)(q-2)=0$. 因为公比 $q>1$，所以 $q=2$. 代入 $a_1{q}^2=8$ 得 $4a_1=8⟹a_1=2$. 因此，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n$.

(2) 记所求和为 $S_n$，则： $S_n=a_1{a}_2-a_2{a}_3+a_3{a}_4-\cdots +(-1{)}^{n-1}{a}_n{a}_{n+1}$ 因为 $a_n=2^n$，所以通项为： $(-1{)}^{k-1}{a}_k{a}_{k+1}=(-1{)}^{k-1}{2}^k\cdot 2^{k+1}=(-1{)}^{k-1}{2}^{2k+1}$. 各项分别为： $2^3,-2^5,2^7,-2^9,\dots$ 这是一个首项为 $8$，公比为 $-4$ 的等比数列的前 $n$ 项和。 由等比数列求和公式得： $S_n=\frac{8[1-(-4{)}^n]}{1-(-4)}=\frac{8}{5}[1-(-4{)}^n]$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列通项、交错数列求和。
2. 核心方法：基本量法解方程组、识别等比数列求和。
3. 避坑指南：求和时注意公比为负数时的符号处理及括号运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考数列解答题标准中档题。
2. 结论推广：符号交替变化的数列求和常转化为公比为负数的等比数列求和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2013-北京卷理-10 填-等比数列通项
• 2013-新课标II卷理-03 单-等比数列通项