2020-新高考I卷-05 单-古典概型

本题导读

本题考查集合的容量性质。核心在于公式法、Venn 图法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年新高考I卷）5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96% 的学生喜欢足球或游泳，60% 的学生喜欢足球，82% 的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）

A. 62%　　　　　　B. 56%　　　　　　C. 46%　　　　　　D. 42%

🔍【思路分析】

破题导航

1. 模型转化： 设“喜欢足球”的学生集合为 $A$，“喜欢游泳”的学生集合为 $B$。

• “喜欢足球或游泳”对应并集 $A\cup B$。

• “既喜欢足球又喜欢游泳”对应交集 $A\cap B$。

2. 核心公式（容斥原理）： 对于任意两个集合，$A\cup B$ 的元素个数（或比例）等于两个集合各自的个数（或比例）之和，减去重叠部分的个数（或比例）： $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

3. 计算目标： 已知 $P(A\cup B)=96\%$, $P(A)=60\%$, $P(B)=82\%$，求 $P(A\cap B)$。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

1. 代入数据： 根据公式 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$，变形得： $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$
2. 执行运算： $P(A\cap B)=60\%+82\%-96\%$ $P(A\cap B)=142\%-96\%$ $P(A\cap B)=46\%$

故既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例为 46%。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 关键词识别： “或”对应并集，“既…又…”对应交集。
• 理解重叠： 为什么 $60\%+82\%=142\%$ 会超过 100%？因为那部分“既喜欢足球又喜欢游泳”的人被数了两次。多出来的部分不仅仅是超出 100% 的部分，而是相对于并集总额多出来的部分。
• 应用场景： 该公式不仅适用于集合，在概率论（互斥事件与对立事件）中也是计算非互斥事件并集概率的基础。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 三个集合： 如果增加一个“喜欢乒乓球”，公式会变得更复杂： $P(A\cup B\cup C)=\sum P(A)-\sum P(A\cap B)+P(A\cap B\cap C)$。
2. 对立面思考： 题目中 96% 喜欢足球或游泳，意味着有 $1-96\%=4\%$ 的学生既不喜欢足球也不喜欢游泳。

解题逻辑： 心中默算：$60+82=142$。 $142$ 比 $96$ 多了多少？ $142-96=46$。 直接选 C，耗时不超过 10 秒。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷III文-05 单-互斥对立事件