2020-新高考I卷-11 多-不等式综合

本题导读

本题考查基本不等式

📌【题干】

Question

（2020年新高考I卷）11. 已知 $a>0,b>0$，且 $a+b=1$，则（ ）

A. $a^2+b^2\ge \frac{1}{2}$　　B. $2^{a-b}>\frac{1}{2}$　　C. ${\log }_{2}a+{\log }_{2}b\ge -2$　　D. $\sqrt{a}+\sqrt{b}\le \sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 核心工具： 由于 $a,b$ 对称（除了 B 选项），很多极值在 $a=b=1/2$ 时取得。

• 基本不等式链： $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。

2. 逐项拆解：

• A 选项： 平方和最小，即 $a=b$ 时。
• B 选项： 考察 $a-b$ 的范围。注意 $a,b\in (0,1)$。
• C 选项： ${\log }_{2}a+{\log }_{2}b={\log }_2(ab)$。利用 $ab\le 1/4$ 判定。
• D 选项： 利用幂均不等式或两边平方。

✅【答案】

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ABD

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 ABD

【解析过程】

• 验证 A： 方法一（消元）：$a^2+b^2=a^2+(1-a{)}^2=2a^2-2a+1$。 这是一个开口向上的抛物线，顶点在 $a=1/2$，最小值为 $2(1/4)-2(1/2)+1=1/2$。 方法二（基本不等式）：$\frac{a^2+b^2}{2}\ge (\frac{a+b}{2}{)}^2=\frac{1}{4}⟹a^2+b^2\ge \frac{1}{2}$。A 正确。

• 验证 B： 因为 $a+b=1$ 且 $a,b>0$，所以 $0<a<1$。 则 $a-b=a-(1-a)=2a-1$。 因为 $a\in (0,1)$，所以 $2a-1\in (-1,1)$。 根据 $y=2^x$ 的单调性，$2^{a-b}>2^{-1}=\frac{1}{2}$。B 正确。

• 验证 C： ${\log }_{2}a+{\log }_{2}b={\log }_2(ab)$。 由 $ab\le (\frac{a+b}{2}{)}^2=\frac{1}{4}$ 知， ${\log }_2(ab)\le {\log }_2(\frac{1}{4})=-2$。 选项说是 $\ge -2$，方向反了。C 错误。

• 验证 D： 方法一（平方）：$(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2=a+b+2\sqrt{ab}=1+2\sqrt{ab}$。 因为 $2\sqrt{ab}\le a+b=1$，所以 $(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2\le 1+1=2$。 开方得 $\sqrt{a}+\sqrt{b}\le \sqrt{2}$。D 正确。

故选：ABD。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 对称性原则： 对于 $a,b$ 地位均等的不等式，极值点往往在 $a=b$ 处。C 选项的错误在于它求的是最大值而非最小值。
• 指数与对数单调性： 在处理 B 和 C 时，必须明确底数 $2>1$，函数是增函数，不等号方向与自变量一致。
• 技巧：特殊值排除法。 取 $a=0.1,b=0.9$。 C 选项：${\log }_2(0.09)\approx {\log }_2(1/11)<-3$。明显不满足 $\ge -2$，直接排除 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

在处理 $a+b=1$ 且涉及分式（如 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）时，常用方法是“乘1法”： $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a+b)=1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\ge 2+2=4$。 本题虽然没考分式，但这种转化思想是解决 $a+b=C$ 类问题的通法。

解题逻辑：

1. A, C, D 都是对称式。带入 $a=b=1/2$： A: $1/4+1/4=1/2$ (边界值)； C: $-1+(-1)=-2$ (这是最大值，因为 $a,b$ 变小时 $\log$ 会变小)； D: $\sqrt{1/2}+\sqrt{1/2}=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$ (边界值)。
2. 判定 C 的趋势：当 $a\to 0$ 时，${\log }_{2}a\to -\infty$，所以 C 一定不对。
3. B 选项带入极值边界：$a\to 0$ 时 $2^{-1}=1/2$，因为 $a>0$ 所以一定大于 $1/2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2010-辽宁卷文-24 解-不等式证明
• 2013-重庆卷理-03 单-利用基本不等式求最值
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式