2020-江苏卷-09 填-正六边形面积

本题导读

本题考查正六棱柱的体积计算，以及圆柱的体积计算。

📌【题干】

Question

（2020年江苏卷）9. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的。已知螺帽的底面正六边形边长为 $2\text{ cm}$，高为 $2\text{ cm}$，内孔半径为 $0.5\text{ cm}$，则此六角螺帽毛坯的体积是$\underline{}$. ${\text{cm}}^3$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 模型分解： 该几何体的体积 $V=V_{\text{正六棱柱}}-V_{\text{圆柱}}$。

2. 计算正六棱柱体积：

• 正六棱柱的底面是边长为 $a=2$ 的正六边形。
• 正六边形可看作 6 个边长为 2 的等边三角形。
• 底面积 $S_1=6\times \frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$。
• 体积 $V_1=S_1\times h$。

3. 计算圆柱体积：

• 圆柱底面半径 $r=0.5$，高 $h=2$。
• 体积 $V_2=\pi r^{2}h$。

4. 作差得出结果。

✅【答案】

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$12\sqrt{3}-\frac{\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $12\sqrt{3}-\frac{\pi }{2}$

【解析过程】

1. 计算正六棱柱的底面积： 正六边形边长 $a=2$， $S_{\text{底1}}=6\times (\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2^2)=6\sqrt{3}$。

2. 计算正六棱柱的体积： 高 $h=2$， $V_1=S_{\text{底1}}\cdot h=6\sqrt{3}\times 2=12\sqrt{3}$。

3. 计算圆柱的体积： 半径 $r=0.5=\frac{1}{2}$，高 $h=2$， $V_2=\pi \cdot r^2\cdot h=\pi \times (\frac{1}{2}{)}^2\times 2=\pi \times \frac{1}{4}\times 2=\frac{\pi }{2}$。

4. 求差： $V=V_1-V_2=12\sqrt{3}-\frac{\pi }{2}$。

故答案为：$12\sqrt{3}-\frac{\pi }{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 正六边形面积： 这是一个常考知识点，建议直接记住 $S=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$。如果记不住，划分为 6 个等边三角形是最稳妥的推导方式。
• 单位统一： 题目中给出的量单位均为 $\text{cm}$，最终要求 ${\text{cm}}^3$，无需换算。
• 易错点： 计算圆柱体积时，半径 $0.5$ 的平方容易算错，或者忘记乘以高。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目要求的是该螺帽的表面积，则计算会复杂很多： $S_{\text{表}}=S_{\text{六棱柱侧}}+S_{\text{圆柱内侧}}+2(S_{\text{正六边形}}-S_{\text{圆}})$。 这种“挖洞”模型的表面积考察往往比体积更具挑战性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷文-11 单-正八面体体积
• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积
• 1984-全国卷理-06