2020-江苏卷-18 解-圆锥曲线综合

本题导读

本题考查椭圆的定义。核心在于几何定义法、坐标参数化的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年江苏卷）18. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$。点 $A$ 在椭圆 $E$ 上且在第一象限内，$A{F}_2\perp F_1{F}_2$，直线 $A{F}_1$ 与椭圆 $E$ 相交于另一点 $B$。

（1）求 $△A{F}_1{F}_2$ 的周长；

（2）在 $x$ 轴上任取一点 $P$，直线 $AP$ 与椭圆 $E$ 的右准线相交于点 $Q$，求 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{QP}$ 的最小值；

（3）设点 $M$ 在椭圆 $E$ 上，记 $△OAB$ 与 $△MAB$ 的面积分别为 $S_1,S_2$，若 $S_2=3S_1$，求点 $M$ 的坐标。

🔍【思路分析】

破题导航

（1）利用定义法： 由椭圆定义知 $A{F}_1+A{F}_2=2a$，周长即为 $2a+2c$。

（2）向量与函数最值：

• 定点： 确定点 $A$ 的坐标（利用 $x_A=c$ 代入方程）。

• 建系： 设 $P(x_0,0)$，写出准线方程 $x=\frac{a^2}{c}$。

• 转化： 表达出 $\overrightarrow{OP}$ 和 $\overrightarrow{QP}$，化简数量积为关于 $x_0$ 的二次函数。

（3）面积转化距离：

• 同底关系： $△OAB$ 和 $△MAB$ 共享底边 $AB$。
• 高度比例： $S_2=3S_1$ 意味着点 $M$ 到直线 $AB$ 的距离 $d_M$ 是点 $O$ 到直线 $AB$ 距离 $d_O$ 的 3 倍。
• 联立： 写出直线 $AB$ 方程，利用点到直线距离公式及椭圆方程求解 $M$。

✅【答案】

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周长为 $A{F}_1+A{F}_2+|F_1{F}_2|=4+2=6$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $△A{F}_1{F}_2$ 的周长 由 $E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 知 $a^2=4,b^2=3$，则 $a=2,c=\sqrt{4-3}=1$。 根据椭圆定义，$A{F}_1+A{F}_2=2a=4$。 焦距 $|F_1{F}_2|=2c=2$。 故周长为 $A{F}_1+A{F}_2+|F_1{F}_2|=4+2=6$。

（2）求 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{QP}$ 的最小值

1. 确定点 A 坐标： 因为 $A{F}_2\perp x$ 轴，且点 $A$ 在第一象限，故 $x_A=c=1$。 代入椭圆方程：$\frac{1}{4}+\frac{y_A^2}{3}=1⟹y_A^2=\frac{9}{4}⟹y_A=\frac{3}{2}$。即 $A(1,\frac{3}{2})$。
2. 设点坐标： 设 $P(x_0,0)$，椭圆右准线方程为 $x=\frac{a^2}{c}=4$。 由于 $Q$ 在准线上且 $A,P,Q$ 三点共线，可设 $Q(4,y_Q)$。
3. 计算数量积： $\overrightarrow{OP}=(x_0,0)$，$\overrightarrow{QP}=(x_0-4,-y_Q)$。 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{QP}=x_0(x_0-4)+0=x_0^2-4x_0=(x_0-2{)}^2-4$。 当 $x_0=2$ 时，数量积取得最小值 $-4$。

（3）求点 M 的坐标

1. 直线 AB 方程： $A(1,\frac{3}{2})$，$F_1(-1,0)$。直线 $A{F}_1$ 的斜率 $k=\frac{3/2-0}{1-(-1)}=\frac{3}{4}$。 方程为 $y=\frac{3}{4}(x+1)$，即 $3x-4y+3=0$。
2. 距离转换： 点 $O(0,0)$ 到直线 $AB$ 的距离 $d_O=\frac{|0-0+3|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{3}{5}$。 由 $S_2=3S_1$ 得 $d_M=3d_O=\frac{9}{5}$。
3. 联立方程： 设 $M(x,y)$，由距离公式：$\frac{|3x-4y+3|}{5}=\frac{9}{5}⟹|3x-4y+3|=9$。

• 情况一： $3x-4y+3=9⟹4y=3x-6$。 代入 $3x^2+4y^2=12$：$3x^2+\frac{(3x-6{)}^2}{4}=12⟹12x^2+9x^2-36x+36=48⟹21x^2-36x-12=0$。 解得 $x=2$ 或 $x=-2/7$。 当 $x=2$ 时，$y=0$；当 $x=-2/7$ 时，$y=-12/7$。
• 情况二： $3x-4y+3=-9⟹4y=3x+12$。 代入方程后判别式 $\Delta <0$（或观察到直线与椭圆无交点）。

4. 结论： $M$ 的坐标为 $(2,0)$ 或 $(-\frac{2}{7},-\frac{12}{7})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 向量积的简化： 第二问中 $Q$ 的纵坐标虽然受 $P$ 影响，但 $\overrightarrow{OP}$ 的纵坐标为 0，这使得 $y_Q$ 在数量积运算中直接消失，是命题人设计的巧妙简算点。
• 面积比的本质： 同底三角形面积比等于高之比。在解析几何中，这通常转化为点到直线距离公式。
• 绝对值处理： $|3x-4y+3|=9$ 拆分成两条平行直线，必须两边都验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果第（3）问中要求的是 $△MAB$ 面积的最大值，则需要寻找与直线 $AB$ 平行的椭圆切线，切点即为 $M$。 这种“距离定值”求点坐标与“距离最值”求点坐标是解析几何的两大经典考法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-19 解-椭圆弦长面积
• 2013-四川卷文-05 单-抛物线焦点距离
• 2013-江苏卷-15 解-向量坐标运算