本题导读
本题考查三次函数图象与性质。核心在于数形结合法 (穿针引线法/根轴法)、分类讨论法 (针对参数 a 的正负)的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2020年浙江卷）9. 已知 且 ，对于任意 均有 ，则（ ）
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
1. 分析函数特征：
设 。这是一个最高次项系数为 1 的三次函数。
其图象在 时， 。
其三个零点分别为 。
2. 核心逻辑：
要在 上满足 ，意味着：
- 不能在正半轴有“单零点”（即穿过 轴进入负值区的点）。
- 如果正半轴有零点，必须是重根（切点），且切点右侧必须保持向上。
- 如果零点不是重根，则它们必须全部 。
✅【答案】
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C
✍【详细解析】
Abstract
【答案】 C
【解析过程】
- 分类讨论 的符号：
- 情况 1：
若 $a > 0$，则 $x_1 = a$ 是一个正零点。
为了让 $f(x)$ 在 $x \ge 0$ 时不小于 0，这个正零点 $a$ 必须是一个“重根”。
这意味着 $x_2$ 或 $x_3$ 必须等于 $a$。
- 若 $x_2 = a$，则 $b = a$。此时 $x_3 = 2a+a = 3a$。
函数变为 $f(x) = (x-a)^2(x-3a)$。在 $x \in (a, 3a)$ 范围内 $f(x) < 0$，不合题意。
- 若 $x_3 = a$，则 $2a+b = a \implies b = -a$。
因为 $a > 0$，所以此时 $b < 0$。
函数变为 $f(x) = (x-a)^2(x-(-a)) = (x-a)^2(x+a)$。
由于 $(x-a)^2 \ge 0$ 且当 $x \ge 0$ 时 $x+a > 0$，满足 $f(x) \ge 0$ 恒成立。
**此种情况下，$b < 0$。**
- 情况 2：
若 $a < 0$，则 $x_1$ 已经在负半轴。
此时要满足 $x \ge 0$ 时 $f(x) \ge 0$，余下的两个零点 $x_2 = b$ 和 $x_3 = 2a+b$ 必须满足：
(1) 两个零点相等且为正（重根）；
(2) 两个零点都 $\le 0$。
- 若 $b > 0$，则为了形成重根，$x_3$ 必须等于 $b$，即 $2a+b = b \implies a = 0$。
但这与题目 $ab \neq 0$ 矛盾。
- 因此，$x_2 = b$ 必须 $\le 0$。由于题目说 $ab \neq 0$，故 **$b < 0$**。
- 综合结论：
无论 取何值，要使条件成立，必有 。
故选：C。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 三次函数的“穿针引线”： 三次函数图象如果从右上方向左下方穿，最多有三个交点。要在某个区间保持非负，要么不进入该区间，要么在区间内以“二重根”的形式弹回。
- 重根思想： 凡是多项式不等式在某点附近“变号”却要满足“恒大于等于零”，该点必为偶数重根。
- 浙江卷的陷阱： 很多同学会去死磕 的具体大小关系。其实只需抓住“如果 会发生什么”进行反证，就能快速排除。
📖【试题探源与推广】
Tip
对于 在 成立：
- 所有的正实根必须是偶数重根（如 2 重、4 重）。
- 所有的单根（奇数重根）必须分布在 。
- 本题 ，是不可能三个根都在左侧又满足 趋势的？不对，如果三个根都 ，则当 时，三个因子都 ，乘积自然 。
快速求解： 代入特殊值法：
若选 D ()：取 ，则零点为 。。当 时，，排除 D。
若 ，逻辑自洽。选 C。
🔗【关联脉络】
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