2020-浙江卷-16 填-数学期望

本题导读

本题考查古典概型与分步计数原理。核心在于枚举法 (列出所有符合条件的取球序列)、分布列法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年浙江卷）16. 盒子里有 4 个球，其中 1 个红球，1 个绿球，2 个黄球，从盒中随机取球，每次取 1 个，不放回，直到取出红球为止。设此过程中取到黄球的个数为 $\xi$，则 $P(\xi =0)=$ ________；$E(\xi )=$ ________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确终止条件： 一旦抽到红球，实验立即停止。 可能的抽球次数为 1, 2, 3, 4 次。

2. 第一空：分析 $\xi =0$ 的情况 $\xi =0$ 表示在抽到红球之前，一个黄球都没抽到。 符合要求的取法序列：

• (红) —— 概率 $P_1$

• (绿，红) —— 概率 $P_2$ 将两者相加即得 $P(\xi =0)$。

3. 第二空：计算期望 $E(\xi )$ 需要先找到 $\xi$ 的所有可能取值及其概率。 $\xi$ 表示抽到的黄球个数，由于共有 2 个黄球，故 $\xi \in \{0,1,2\}$。

• $P(\xi =0)$ 已求出。
• $P(\xi =2)$ 表示抽到红球前，两个黄球都抽到了。序列：(黄, 黄, 红) 或 (绿, 黄, 黄, 红) 等。
• 利用 $P(\xi =1)=1-P(\xi =0)-P(\xi =2)$ 简化计算。

✅【答案】

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$1/3$；$1$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $1/3$；$1$

【解析过程】

1. 第一空：计算 $P(\xi =0)$

• 序列1 (第1次即红)：$P=\frac{1}{4}$

• 序列2 (第1次绿，第2次红)：$P=\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{12}$

• $P(\xi =0)=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{3+1}{12}=\frac{1}{3}$。

2. 第二空：计算分布列与期望

• 计算 $P(\xi =2)$： 表示红球出现在两个黄球之后。 这里有个技巧：在红球与两个黄球的相对位置中，红球出现在最后的概率。 由于红球与两个黄球是平权的，红球在第1, 2, 3位出现的概率均等。 若只看这三个球，红球在最后（即黄、黄之后）的概率是 $1/3$。 (含绿球的影响不改变红球与黄球的相对先后顺序期望)。 也可以枚举：(黄, 黄, 红), (绿, 黄, 黄, 红), (黄, 绿, 黄, 红), (黄, 黄, 绿, 红)。 $P=(\frac{2}{4}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2})+(\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1)\times 3\dots$ 计算得 $P(\xi =2)=\frac{1}{3}$。
• 计算 $P(\xi =1)$： $P(\xi =1)=1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$。
• 求期望： $E(\xi )=0\times \frac{1}{3}+1\times \frac{1}{3}+2\times \frac{1}{3}=\frac{1+2}{3}=1$。

故答案为：$1/3$；$1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 对称性思想： 这是一个非常高级的技巧。在不放回抽样中，如果不考虑绿球，红球和两个黄球出现的先后顺序概率是均等的。红球排在 0 个黄球前、1 个黄球后、2 个黄球后的概率都是 $1/3$。
• 枚举细节： 如果不使用对称性，枚举时一定要注意绿球的位置。例如 $\xi =1$ 包含 (黄, 红), (绿, 黄, 红), (黄, 绿, 红) 等多种情况。
• 期望的直观理解： 盒子里有 2 个黄球，红球把它们分成了均等的部分，平均而言红球会出在正中间，所以期望抽到 1 个黄球。

📖【试题探源与推广】

Tip

若盒中有 $m$ 个 A 类球，$1$ 个 B 类球，不放回抽样直到取到 B 为止，取到的 A 类球个数 $\xi$ 服从离散型均匀分布： $P(\xi =k)=\frac{1}{m+1},k\in \{0,1,\dots ,m\}$ 本题中黄球 $m=2$，红球 $1$ 个。绿球不影响黄红的相对顺序。 故 $P(\xi =0)=P(\xi =1)=P(\xi =2)=1/(2+1)=1/3$。 这种对称性思想在处理选择填空压轴题时能快速求解。

快速求解： 绿球是干扰项。红球与 2 个黄球共有 3 个位置。红球在前、中、后的概率各为 $1/3$。对应黄球个数 0, 1, 2。期望为 $(0+1+2)/3=1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I理-20
• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2014-浙江卷理-09 单-数学期望