2020-浙江卷-18 解-三角综合

本题导读

本题考查\sin B

📌【题干】

Question

（2020年浙江卷）18. 在锐角 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，且 $2b\sin A-\sqrt{3}a=0$。

（Ⅰ）求角 $B$ 的大小；

（Ⅱ）求 $\cos A+\cos B+\cos C$ 的取值范围。

🔍【思路分析】

破题导航

（Ⅰ）角 $B$ 的计算： 已知条件中既有边又有角的正弦，首选正弦定理进行“边化角”。 将 $b$ 换成 $\sin B$，$a$ 换成 $\sin A$，消去公共项即可得到 $\sin B$ 的值。注意“锐角三角形”对角的限制。

（Ⅱ）三角和的范围：

1. 消元： 已知 $B=\pi /3$，则 $A+C=2\pi /3$。可令 $C=2\pi /3-A$。
2. 化简： 利用两角和公式将 $\cos A+\cos B+\cos C$ 合并为一个关于 $A$ 的三角函数（辅助角公式形式）。
3. 界定范围： 关键点！因为是锐角三角形，必须满足：

• $0<A<\pi /2$
• $0<B<\pi /2$ (已满足)
• $0<C<\pi /2⟹0<2\pi /3-A<\pi /2$ 由此求出 $A$ 的精确范围，再求函数值域。

✅【答案】

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$B=\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，得 $a=\frac{b\sin A}{\sin B}$。 代入已知条件 $2b\sin A-\sqrt{3}a=0$ 得： $2b\sin A-\sqrt{3}\cdot \frac{b\sin A}{\sin B}=0$。 因为 $b>0$ 且 $\sin A\ne 0$，两边同时约去 $b\sin A$ 得： $2-\frac{\sqrt{3}}{\sin B}=0⟹\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 由于 $△ABC$ 为锐角三角形，故 $B<\frac{\pi }{2}$， 所以 $B=\frac{\pi }{3}$。

由（Ⅰ）知 $B=\frac{\pi }{3}$，$\cos B=\frac{1}{2}$。 且 $A+C=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}⟹C=\frac{2\pi }{3}-A$。 设 $y=\cos A+\cos B+\cos C$，则： $y=\cos A+\frac{1}{2}+\cos \left(\frac{2\pi }{3}-A\right)$ $y=\cos A+\frac{1}{2}+\left(\cos \frac{2\pi }{3}\cos A+\sin \frac{2\pi }{3}\sin A\right)$ $y=\cos A+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos A+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin A$ $y=\frac{1}{2}\cos A+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin A+\frac{1}{2}$ $y=\sin \left(A+\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}$。

确定 $A$ 的取值范围： 因为 $△ABC$ 是锐角三角形，则： $\{\begin{array}{l}0<A<\frac{\pi }{2}\\ 0<\frac{2\pi }{3}-A<\frac{\pi }{2}\end{array}⟹\{\begin{array}{l}A<\frac{\pi }{2}\\ A>\frac{\pi }{6}\end{array}⟹A\in \left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right)$。 所以 $A+\frac{\pi }{6}\in \left(\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right)$。 在此区间内，$\sin \left(A+\frac{\pi }{6}\right)\in \left(\frac{\sqrt{3}}{2},1\right]$。 故 $y\in \left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2},1+\frac{1}{2}\right]$，即 $\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2},\frac{3}{2}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 隐含条件的挖掘： 很多学生在做第二问时直接用 $0<A<2\pi /3$，忽略了 $C$ 也要是锐角。这是解三角形题目中最常见的丢分点。
• 辅助角公式的熟练度： $\frac{1}{2}\cos A+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin A$ 这种特殊系数构成的辅助角公式必须能瞬间识别。
• 值域的开闭性： 范围是开区间还是半开半闭，取决于三角形内角不能等于 $\pi /2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

对于 $△ABC$：

1. 角度定义： $A,B,C<\frac{\pi }{2}$。
2. 边长性质： $a^2+b^2>c^2$，$a^2+c^2>b^2$，$b^2+c^2>a^2$。
3. 函数性质： 在锐角 $△ABC$ 中，$\sin A>\cos B$，$\cos A<\sin B$。

快速求解： 第一问看到 $2\sin B=\sqrt{3}$ 直接出结果。第二问化简到 $\sin (A+30^{\circ })+0.5$ 后，记住锐角三角形 $A$ 必须在 $(30^{\circ },90^{\circ })$，代入即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-17 解-三角化简值域
• 2008-山东卷理-15
• 2009-山东卷文-17 解-三角变换与解三角形