2020-浙江卷-21 解-圆锥曲线综合

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与焦点坐标。核心在于设而不求 (点差法或韦达定理)、参数消元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年浙江卷）21. 如图，已知椭圆 $C_1:\frac{x^2}{2}+y^2=1$，抛物线 $C_2:y^2=2px(p>0)$，点 $A$ 是椭圆 $C_1$ 与抛物线 $C_2$ 的交点，过点 $A$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C_1$ 于点 $B$，交抛物线 $C_2$ 于 $M$（$B,M$ 不同于 $A$）。

（Ⅰ）若 $p=\frac{1}{16}$，求抛物线 $C_2$ 的焦点坐标；

（Ⅱ）若存在不过原点的直线 $l$ 使 $M$ 为线段 $AB$ 的中点，求 $p$ 的最大值。

🔍【思路分析】

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（Ⅰ）基本量求解： 由 $p$ 算出抛物线方程 $y^2=2px$，根据焦点公式 $F(\frac{p}{2},0)$ 直接得出结果。

（Ⅱ）最值问题攻克思路：

1. 设点与线： 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),M(x_0,y_0)$。设直线 $l:x=\lambda y+m$。
2. 中点转化： “$M$ 是 $AB$ 中点”意味着横纵坐标均满足中点公式：$y_2+y_1=2y_0$。
3. 联立方程：

• 直线与椭圆联立，利用韦达定理表示出 $y_1+y_2$，从而得到 $y_0$ 关于参数的表达式。
• 直线与抛物线联立，由于 $A,M$ 都在抛物线上且在直线 $l$ 上，利用韦达定理 $y_1+y_0=2p\lambda$。

4. 寻找突破口： - 交点 $A$ 满足椭圆方程 $\frac{x_1^2}{2}+y_1^2=1$ 且 $y_1^2=2p{x}_1$。

• 将所有变量通过代数变形压向 $p$ 和辅助参数 $\lambda$。

5. 构建不等式： 利用基本不等式（均值不等式）找到 $p$ 的上界。

✅【答案】

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$y_1+y_0=2p\lambda$ —— ②

✍【详细解析】

Abstract

当 $p=\frac{1}{16}$ 时，抛物线 $C_2$ 的方程为 $y^2=\frac{1}{8}x$。 其焦点坐标为 $(\frac{p}{2},0)=(\frac{1}{32},0)$。

1. 坐标设定与联立： 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),M(x_0,y_0)$。设直线 $l:x=\lambda y+m$。 联立直线与椭圆 $x^2+2y^2=2$： $(\lambda y+m{)}^2+2y^2=2⟹({\lambda }^2+2)y^2+2\lambda my+m^2-2=0$。 由韦达定理：$y_1+y_2=\frac{-2\lambda m}{{\lambda }^2+2}$。 因为 $M$ 是 $AB$ 中点，所以 $y_0=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{-\lambda m}{{\lambda }^2+2}$。 对应的 $x_0=\lambda y_0+m=\frac{2m}{{\lambda }^2+2}$。

2. 利用抛物线性质： $M(x_0,y_0)$ 在抛物线 $y^2=2px$ 上，代入得：$\frac{{\lambda }^2{m}^2}{({\lambda }^2+2{)}^2}=2p\cdot \frac{2m}{{\lambda }^2+2}⟹\frac{{\lambda }^{2}m}{{\lambda }^2+2}=4p$ —— ① 联立直线与抛物线 $y^2=2p(\lambda y+m)$：$y^2-2p\lambda y-2pm=0$。 因为 $A,M$ 是直线与抛物线的交点，所以 $y_1+y_0=2p\lambda$ —— ② 由 ① 知 $m=\frac{4p({\lambda }^2+2)}{{\lambda }^2}$，代入 $y_0$ 表达式：$y_0=-\frac{4p}{\lambda }$。 代入 ② 得 $y_1=2p\lambda -(-\frac{4p}{\lambda })=2p\lambda +\frac{4p}{\lambda }$。

3. 回归交点 A 的限制条件： $A(x_1,y_1)$ 在椭圆上，且满足 $y_1^2=2p{x}_1⟹x_1=\frac{y_1^2}{2p}$。 代入椭圆方程 $x_1^2+2y_1^2=2$ 得：$\frac{y_1^4}{4p^2}+2y_1^2=2$。 将 $y_1=2p(\lambda +\frac{2}{\lambda })$ 代入： $4p^2(\lambda +\frac{2}{\lambda }{)}^4+8p^2(\lambda +\frac{2}{\lambda }{)}^2=2$。 令 $t=(\lambda +\frac{2}{\lambda }{)}^2$，由基本不等式知 $t\ge (2\sqrt{2}{)}^2=8$。 方程变为：$4p^2{t}^2+8p^{2}t-2=0⟹2p^2(t^2+2t)=1$。 则 $\frac{1}{2p^2}=t^2+2t$。

4. 求 $p$ 的最大值： 要使 $p$ 最大，只需 $2p^2$ 最大，即 $t^2+2t$ 最小。 因为 $t\ge 8$，且函数 $g(t)=t^2+2t$ 在 $[8,+\infty )$ 上递增。 所以当 $t=8$ 时，$t^2+2t$ 取得最小值 $8^2+2\times 8=80$。 此时 $\frac{1}{2p^2}=80⟹p^2=\frac{1}{160}⟹p=\frac{\sqrt{10}}{40}$。

故 $p$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{10}}{40}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 参数的选择： 在解析几何中，设直线为 $x=\lambda y+m$（横截式）通常比 $y=kx+b$ 更优，因为它能自然覆盖斜率不存在的情况，且在联立抛物线 $y^2=2px$ 时形式更简洁。
• 整体换元： 最后的 $t=(\lambda +\frac{2}{\lambda }{)}^2$ 是解题的神来之笔。如果不进行整体换元，直接展开四次方将陷入无法处理的泥潭。
• 边界条件的检查： 题目要求直线不过原点，即 $m\ne 0$。由式 ① 易知 $p>0$ 时 $m$ 必不为 0，符合题意。

📖【试题探源与推广】

Tip

处理中点弦或中点关系有三大法宝：

1. 点差法： 适用于弦的两端点都在同一曲线上的情况。
2. 韦达定理： 最通用的方法，通过 $y_1+y_2$ 直接联系中点坐标。
3. 参数方程： 某些情况下利用直线的参数方程 $t_1+t_2=0$ 求解更快捷。 本题由于涉及两条不同的曲线，韦达定理结合代数变形是最稳妥的路径。

解题要点： 看到“中点”联想到 $y_0=(y_1+y_2)/2$。通过两次联立消掉 $m,x,y$，最后归结为关于 $t=(\lambda +2/\lambda {)}^2$ 的单调函数求极值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-21 解-抛物线应用建模最值
• 2013-四川卷理-06 单-抛物线的标准方程与焦点坐标
• 2013-大纲卷文-12 单-抛物线与向量垂直