2013-大纲卷文-12 单-抛物线与向量垂直

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与焦点，以及直线与抛物线的位置关系。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(文)） 已知抛物线 $C:y^2=8x$ 与点 $M(-2,2)$，过 $C$ 的焦点且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于 $A$、$B$ 两点，若 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$，则 $k=$()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. $y^2=8x=4\cdot 2x$，焦点 $F(2,0)$。
2. 设 $A(2t^2,4t)$、$B(2u^2,4u)$，由 $A$、$B$、$F$ 共线得 $t+u=\frac{2}{k}$，$tu=-1$。
3. $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$ 化简得 ${\left(\frac{2}{k}-1\right)}^2=0$，解出 $k$。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

由 $y^2=8x=4\cdot 2x$ 知焦点 $F(2,0)$。设 $A(2t^2,4t)$、$B(2u^2,4u)$。 直线 $AB$ 过 $F$ 且斜率为 $k$，方程为 $y=k(x-2)$。代入参数坐标：$4t=2k(t^2-1)$，即 $k{t}^2-2t-k=0$，$t$、$u$ 是它的两根，故 $t+u=\frac{2}{k},tu=-1.$ 又 $\overrightarrow{MA}=(2t^2+2,4t-2)$，$\overrightarrow{MB}=(2u^2+2,4u-2)$，由垂直得 $0=\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=4\left[(t^2+1)(u^2+1)+(2t-1)(2u-1)\right].$ 记 $s=t+u$。利用 $tu=-1$： $(t^2+1)(u^2+1)=t^2{u}^2+t^2+u^2+1=1+(s^2+2)+1=s^2+4,$ $(2t-1)(2u-1)=4tu-2(t+u)+1=-4-2s+1=-2s-3.$ 两者相加：$s^2-2s+1=(s-1{)}^2=0$，故 $s=1$，即 $\frac{2}{k}=1⟹k=2.$ 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线与向量垂直（参数点设法）

核心方法：设 $A(2t^2,4t)$、$B(2u^2,4u)$，把 $MA\cdot MB=0$ 化为对称式

避坑指南：过焦点的弦用参数点 $A(2t^2,4t)$ 联立最快，$t+u=\frac{2}{k}$、$tu=-1$ 两个韦达关系是桥梁——直接设 $y=k(x-2)$ 硬解坐标计算量翻倍。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线与直线、向量垂直的综合（全国卷高频）。

结论推广：$y^2=8x$ 焦点 $F(2,0)$；过焦点弦的参数设法 $A(2t^2,4t)$；垂直 $⟺$ 数量积为零。

方法推广：抛物线弦问题三步：认出焦点定直线 → 参数点代入得韦达关系 → 把几何条件（垂直）翻译成对称式化简。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-22 解-抛物线与四点共圆
• 2013年大纲版理-11