2021-上海卷-02 填-集合运算

本题导读

本题考查集合的表示方法，以及一元一次不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2021年上海卷）2. 已知 $A=\{x\mid 2x\le 1\}$，$B=\{-1,0,1\}$，则 $A\cap B=$ ___________．

🔍【思路分析】

破题导航

第一步：化简集合 $A$。 将一元一次不等式 $2x\le 1$ 解出来，确定 $x$ 的取值范围。 第二步：筛选元素。 观察集合 $B$ 中的元素，看哪些数字落在集合 $A$ 的范围内。 第三步：求交集。 满足条件的元素组成的集合即为 $A\cap B$。

✅【答案】

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$\{-1,0\}$

✍【详细解析】

Abstract

对于集合 $A$： 由 $2x\le 1$ 解得 $x\le \frac{1}{2}$。 所以 $A=\{x\mid x\le \frac{1}{2}\}$。

对于集合 $B=\{-1,0,1\}$，我们逐一校验其中的元素是否属于 $A$：

• 因为 $-1\le \frac{1}{2}$，所以 $-1\in A$；
• 因为 $0\le \frac{1}{2}$，所以 $0\in A$；
• 因为 $1>\frac{1}{2}$，所以 $1\notin A$。

综上所述，$A\cap B=\{-1,0\}$。

故答案为：$\{-1,0\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 集合元素的筛选： 处理“不等式集合”与“离散集合”的交集时，**“代入法”**比画数轴更快且更准确。
• 细节警示： 集合的结果一定要带上大括号 { }，如果只写 -1, 0 在填空题中是不给分的。

在上海卷的中档填空题中，集合运算可能会增加以下变式：

1. 数集的范围区分： 注意 $x\in \mathbf{R}$、$x\in \mathbf{Z}$（整数集）或 $x\in \mathbf{N}$（自然数集）的区别。如果是自然数集，结果就不能包含负数。
2. 点集与数集的区别： - $A=\{x\mid y=x^2\}$ 是数集（实数轴上的范围）。

• $B=\{(x,y)\mid y=x^2\}$ 是点集（抛物线上的所有点）。 两者的交集通常为空集，除非题目有特殊定义。

3. 空集（$\varnothing$）的可能性： 当两个集合没有任何公共元素时，交集为 $\varnothing$。写答案时注意不要在 $\varnothing$ 外面再加括号，即不要写成 $\{\varnothing \}$（这代表一个包含空集的集合）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷III理-01 单-集合运算
• 2004-江苏卷-01 单-集合的表示方法
• 2009-广东卷理-01