2021-上海卷-07 填-线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及可行域与最优解。

📌【题干】

Question

（2021年上海卷）7. 已知约束条件 $\{\begin{array}{l}x\le 3\\ 2x-y-2\ge 0\\ 3x+y-8\ge 0\end{array}$，则目标函数 $z=x-y$ 的最大值为 ___________．

1. 画出可行域： 将每一个不等式看作直线及其一侧的区域。

• $x=3$：垂直于 $x$ 轴的直线，取左侧。
• $2x-y-2=0$：斜率为 $2$ 的直线，代入原点 $(0,0)$ 发现 $0-0-2<0$，故取不含原点的一侧（右下方）。
• $3x+y-8=0$：斜率为 $-3$ 的直线，同理取不含原点的一侧（右上方）。

2. 确定目标函数的几何意义： 将 $z=x-y$ 变形为 $y=x-z$。 这是一个斜率为 $1$ 的直线族，$-z$ 是该直线在 $y$ 轴上的截距。

• 要使 $z$ 最大，则需截距 $-z$ 最小。

3. 寻找最优解： 在可行域内上下平移直线 $y=x-z$，寻找使截距最小（位置最靠下）的点。

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$4$

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求解可行域的顶点坐标 联立直线方程寻找交点：

• 联立 $2x-y-2=0$ 与 $3x+y-8=0$： 两式相加得 $5x=10⟹x=2$，代入得 $y=2$。交点 $A(2,2)$。
• 联立 $x=3$ 与 $2x-y-2=0$： $2(3)-y-2=0⟹y=4$。交点 $B(3,4)$。
• 联立 $x=3$ 与 $3x+y-8=0$： $3(3)+y-8=0⟹y=-1$。交点 $C(3,-1)$。

可行域是一个以 $A(2,2),B(3,4),C(3,-1)$ 为顶点的三角形区域。

第二步：求最值 将目标函数 $z=x-y$ 的值分别代入三个顶点进行检验：

• 代入 $A(2,2)$：$z=2-2=0$
• 代入 $B(3,4)$：$z=3-4=-1$
• 代入 $C(3,-1)$：$z=3-(-1)=4$

比较可知，$z$ 的最大值为 $4$。

故答案为：$4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 截距的正负陷阱： 很多同学容易混淆。对于 $z=ax+by$，如果 $b<0$（如本题 $z=x-y$），$z$ 越大，直线在 $y$ 轴上的截距 $-z$ 越小，直线位置越靠下。
• 顶点法： 对于线性规划求最值，只要可行域是封闭的多边形，最值一定在顶点处取得。在填空题中，直接算出所有交点并带入比较是最保险的办法。

线性规划的变式通常在于目标函数的形式：

1. 距离型： $z=x^2+y^2$ 表示可行域内的点到原点距离的平方。
2. 斜率型： $z=\frac{y-b}{x-a}$ 表示可行域内的点与定点 $(a,b)$ 连线的斜率。
3. 截距型： 如本题，处理时务必理清 $z$ 与 $y$ 轴截距的正负相关性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2004-江苏卷-19 解-简单的线性规划问题
• 2015-天津卷理-2
• 2004-全国卷IV理-16 填-简单的线性规划问题