2007-重庆卷理-12 填-线性目标函数最值

本题导读

本题考查基本的二维线性规划最值问题。核心在于在坐标系中精确画出三个不等式交截出的封闭或半封闭平面可行域，通过平移目标函数几何截线，锁定使得截距最大的目标顶点。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(理)） 已知 $x,y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x-y\le 1\\ 2x+y\le 4\\ x\ge 1\end{array}$，则函数 $z=x+3y$ 的最大值是________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绘制平面可行域：

• 画出三条边界直线： $l_1:x-y=1$； $l_2:2x+y=4$； $l_3:x=1$。
• 确定满足不等式组符号的交集公共区域， 通常为一个封闭的三角形。

2. 求解关键几何顶点：联立边界方程， 算出三角形的三个顶点坐标。

3. 平移目标函数直线求最值：将目标函数变形为斜截式 $y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$。 随着纵截距变大， 目标值 $z$ 变大。 通过平移直线， 观察它在离开可行域的最后一个边缘顶点， 代入该点坐标即为最值。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解：首先， 在直角坐标系中精密绘制出由三个不等式共同锁定的平面可行域区域 $\Omega$。 三条边界直线方程及其两两交点计算如下：

• 联立 $\{\begin{array}{l}x=1\\ x-y=1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}⟹$ 得到左下角顶点： $A(1,0)$；
• 联立 $\{\begin{array}{l}x=1\\ 2x+y=4\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}⟹$ 得到左上角顶点： $B(1,2)$；
• 联立两斜直线 $\{\begin{array}{l}x-y=1\\ 2x+y=4\end{array}$， 两式相加消去 $y$： $3x=5⟹x=\frac{5}{3}$， 进而求得 $y=\frac{5}{3}-1=\frac{2}{3}$。 得到右侧交点顶点： $C\left(\frac{5}{3},\frac{2}{3}\right)$。

这三个边界交点围成了一个封闭的三角形区域 $△ABC$ 及其内部， 这就是合法的平面可行域。

将需要求最针的目标函数 $z=x+3y$ 变形为直线的斜截式方程： $y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$ 这代表一束斜率为 $-\frac{1}{3}$， 在 $y$ 轴上纵截距为 $\frac{z}{3}$ 的平行直线系。 由等式可知， 只要纵截距 $\frac{z}{3}$ 取得最大值， 对应的目标实数 $z$ 也就顺理成章取得最大值。

我们将该斜率为 $-\frac{1}{3}$ 的平行动态截线在坐标系中由下往上平移。 观察可见， 当直线向上平移通过可行域三角形左上角的顶点 $B(1,2)$ 时， 直线在 $y$ 轴上的截距爬升到最高极限位置。 所以， 目标函数 $z$ 的最大值必然在顶点 $B(1,2)$ 处切出。

将点 $B(1,2)$ 的直角坐标代入目标函数公式中： $z_{\text{最大值}}=1+3\times 2=1+6=7$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划三角形区域的顶点联立求解、目标函数斜率与边界斜率大小相对关系的平移判定。
2. 核心方法：数形结合图解法、顶点代入比较法（由于可行域为封闭多边形，在高考选择填空题中，最值必然在某个顶点上取得。 算出三个顶点 $A(1,0),B(1,2),C(5/3,2/3)$ 对应的 $z$ 值分别为 1, 7, $11/3$， 直接挑出最大值 7， 此法不需要费心画平移线， 速度极快）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二元一次不等式组与平面可行域、线性目标函数的最值（线性规划）是重庆卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是二元一次不等式组与平面可行域、线性目标函数的最值（线性规划）的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用数形结合图解法、顶点平移代入法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-广东卷文-12 填-线性规划最大值
• 2012-新课标卷理-14 填-线性规划
• 2021-上海卷-07 填-线性规划