2021-乙卷文-04 单-三角函数最值

本题导读

本题考查三角函数的周期性，以及三角函数的最值。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷文）函数 $f(x)=\sin \frac{x}{3}+\cos \frac{x}{3}$ 的最小正周期和最大值分别是 ()

A. $3\pi$ 和 $\sqrt{2}$　　　　B. $3\pi$ 和 $2$　　　　C. $6\pi$ 和 $\sqrt{2}$　　　　D. $6\pi$ 和 $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用辅助角公式将函数化为 $f(x)=\sqrt{2}\sin \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi }{4}\right)$ 的形式。
2. 根据周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 求最小正周期。
3. 直接读出函数最大值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=\sin \frac{x}{3}+\cos \frac{x}{3}=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \frac{x}{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \frac{x}{3}\right)=\sqrt{2}\sin \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi }{4}\right)$。 其最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{\frac{1}{3}}=6\pi$。 其最大值为 $\sqrt{2}$。 故选：(C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式、三角函数周期与最值。
2. 核心方法：化一法（$A\sin \omega x+B\cos \omega x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (\omega x+\phi )$）。
3. 避坑指南：计算周期时注意除以 $\omega$ 的系数，切勿直接误用原周期。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：三角函数图象与性质的基础题。
2. 结论推广：形如 $y=A\sin (\omega x)+B\cos (\omega x)$ 的函数总可以化为单一正弦型函数处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I理-17 解-三角恒等变换
• 2010-山东卷文-17 解-三角周期与最值
• 2010-湖北卷理-16