2021-乙卷文-08 单-基本不等式

本题导读

本题考查函数的最值，以及基本不等式。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷文）下列函数中最小值为 4 的是 ()

A. $y=x^2+2x+4$　　　　　　　　　　　　B. $y=|\sin x|+\frac{4}{|\sin x|}$

C. $y=2^x+2^{2-x}$　　　　　　　　　　　　D. $y=\ln x+\frac{4}{\ln x}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分别分析四个选项中函数的值域或最值。
2. 选项 (A) 利用配方法求最值；选项 (B) 结合正弦函数范围分析；选项 (C) 利用基本不等式；选项 (D) 分析对数函数值域。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

对于 (A)，$y=(x+1{)}^2+3$，其最小值为 3，不合题意； 对于 (B)，因为 $0<|\sin x|\le 1$，当 $|\sin x|=1$ 时，函数最小值为 $1+4=5$，不合题意； 对于 (C)，$y=2^x+\frac{4}{2^x}\ge 2\sqrt{2^x\cdot \frac{4}{2^x}}=4$，当 $2^x=2$ 即 $x=1$ 时取等号，最小值为 4，符合题意； 对于 (D)，因为 $\ln x$ 可取全体实数，函数无最小值。 故选：(C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数最值、基本不等式的使用条件（一正、二定、三相等）。
2. 核心方法：结合函数解析式特征选择适宜的方法。
3. 避坑指南：使用基本不等式时必须验证等号成立的条件是否在定义域内。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：函数性质综合考查基础题。
2. 结论推广：形如 $a^x+\frac{b}{a^x}$ 的函数常借助均值不等式求解最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2012年山东卷理-12
• 2013-四川卷文-13 填-基本不等式取等
• 2013-山东卷文-12 单-基本不等式最值