2013-山东卷文-12 单-基本不等式最值

本题导读

本题考查基本不等式，以及二次函数的最值。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(文)） 设正实数 $x$，$y$，$z$ 满足 $x^2-3xy+4y^2-z=0$，则当 $\frac{z}{xy}$ 取得最小值时，$x+2y-z$ 的最大值为()

A. $0$　　　　　　　B. $\frac{9}{8}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $\frac{9}{4}$

🔍【思路分析】

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1. $z=x^2-3xy+4y^2$ → $\frac{z}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{4y}{x}-3⩾4-3=1$，取等 $x=2y$。
2. 此时 $x+2y-z=2y+2y-(4y^2-6y^2+4y^2)=4y-2y^2$。
3. $4y-2y^2=-2(y-1{)}^2+2⩽2$。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

由 $x^2-3xy+4y^2-z=0$，得 $z=x^2-3xy+4y^2$。因为 $x$，$y$，$z$ 为正实数， $\frac{z}{xy}=\frac{x^2-3xy+4y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{4y}{x}-3⩾2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot \frac{4y}{x}}-3=4-3=1,$ 当且仅当 $\frac{x}{y}=\frac{4y}{x}$，即 $x=2y$ 时取等号。 此时 $x+2y-z=2y+2y-\left(4y^2-6y^2+4y^2\right)=4y-2y^2=-2(y-1{)}^2+2⩽2,$ 当 $y=1$（$x=2$）时取最大值 $2$。 所以 $x+2y-z$ 的最大值为 $2$。 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式与二次最值

核心方法：$\frac{z}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{4y}{x}-3⩾1$（$x=2y$ 取等）；此时 $x+2y-z=4y-2y^2=-2(y-1{)}^2+2⩽2$

避坑指南：“当 $\frac{z}{xy}$ 取最小值时”是先取等再算的信号：$x=2y$ 先锁死比例，再回代 $z$ 化为一元二次；两步拆开做，别试图对 $x+2y-z$ 直接用不等式硬啃。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：条件最值（基本不等式 + 配方法，山东卷压轴小题）。

结论推广：$\frac{x}{y}+\frac{4y}{x}⩾2\sqrt{4}=4$，当且仅当 $\frac{x}{y}=\frac{4y}{x}$ 即 $x=2y$ 时取等；$4y-2y^2=-2(y-1{)}^2+2$。

方法推广：条件最值两段式：先用基本不等式定出取等时的比例关系 → 回代目标化为一元函数，配方（或求导）求最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式
• 2013-新课标II卷文-24 解-不等式证明