2021-乙卷理-05 单-异面直线夹角

本题导读

本题考查异面直线所成的角，以及利用空间向量求空间角。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷理）在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$P$ 为 $B_1{D}_1$ 的中点，则直线 $PB$ 与 $A{D}_1$ 所成的角为（　　）

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{6}$

🔍【思路分析】

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求异面直线所成的角，通常有以下两种“通法”：

1. 传统几何法（平移转化法）：利用正方体的平行关系，将异面直线平移至相交。本题中显然有 $A{D}_1\parallel B{C}_1$，从而把异面直线 $PB$ 与 $A{D}_1$ 的夹角转化为相交直线 $PB$ 与 $B{C}_1$ 的夹角 $\angle PB{C}_1$，再放入 $△PB{C}_1$ 中利用余弦定理求解。

2. 空间向量法（代数建系法）：遇到正方体，建立空间直角坐标系是最不需要思考的“暴力美学”。写出相关点的坐标，求出两直线的方向向量，利用向量夹角余弦公式直接计算即可。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解法一：几何平移与余弦定理

在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，因为 $AD\parallel BC$ 且 $AD=BC$，$D{D}_1\parallel C{C}_1$ 且 $D{D}_1=C{C}_1$，

易知平面 $AD{D}_1{A}_1\parallel$ 平面 $BC{C}_1{B}_1$，故有 $A{D}_1\parallel B{C}_1$．

因此，$\angle PB{C}_1$ 即为直线 $PB$ 与 $A{D}_1$ 所成的角（或其补角）．

为了方便计算，设正方体的棱长为 $2$．

• 在 $\text{Rt}△BC{C}_1$ 中，面对角线 $B{C}_1=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$．

• 因为 $P$ 为上底面对角线 $B_1{D}_1$ 的中点，也是正方形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的中心，故 $P{B}_1=P{C}_1=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}=\sqrt{2}$．

• 在 $\text{Rt}△P{B}_{1}B$ 中，$BP=\sqrt{P{B}_1^2+B{B}_1^2}=\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2+2^2}=\sqrt{6}$．

在 $△PB{C}_1$ 中，由余弦定理得：

$\cos \angle PB{C}_1=\frac{P{B}^2+B{C}_1^2-P{C}_1^2}{2\times PB\times B{C}_1}=\frac{6+8-2}{2\times \sqrt{6}\times 2\sqrt{2}}=\frac{12}{8\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

因为异面直线所成的角范围是 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，且 $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，

所以 $\angle PB{C}_1=\frac{\pi }{6}$．

直线 $PB$ 与 $A{D}_1$ 所成的角为 $\frac{\pi }{6}$．

故选：D．

解法二：空间向量法（推荐）

以 $D$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{DA}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{D{D}_1}$ 的方向为 $x,y,z$ 轴正方向，建立空间直角坐标系。设棱长为 2。

则各点坐标为：

$A(2,0,0)$, $D_1(0,0,2)$，所以 $\overrightarrow{A{D}_1}=(-2,0,2)$．

$B(2,2,0)$, $B_1(2,2,2)$，因为 $P$ 为 $B_1{D}_1$ 的中点，且 $D_1(0,0,2)$，则 $P(1,1,2)$．

所以 $\overrightarrow{PB}=(2-1,2-1,0-2)=(1,1,-2)$．

设直线 $PB$ 与 $A{D}_1$ 所成的角为 $\theta$，则：

$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{A{D}_1}\cdot \overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{A{D}_1}||\overrightarrow{PB}|}=\frac{|-2\times 1+0\times 1+2\times (-2)|}{\sqrt{(-2{)}^2+0^2+2^2}\times \sqrt{1^2+1^2+(-2{)}^2}}=\frac{|-6|}{\sqrt{8}\times \sqrt{6}}=\frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

故 $\theta =\frac{\pi }{6}$．

故选：D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 选边赋值得出具体数值：立体几何的选择填空题中，遇到没有给定具体长度的规则几何体，直接设棱长为特殊值（如设为 2 可避免中点产生分数）能极大简化计算。

  2. 法无定法，唯快不破：传统法平移快，但有时在三角形中求边长容易算错；建系法不需要空间想象力，但坐标一定要写对。建议在平时训练中“一题双解”相互印证。

• 避坑指南：异面直线所成角的范围是 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$。在使用向量法时，求出的两个方向向量夹角范围是 $[0,\pi ]$。因此，求线线角时，分子一定要加上绝对值（即 $\cos \theta =|\cos ⟨\vec{a},\vec{b}⟩|$），否则可能错误地得出钝角（如本题如果不加绝对值，算出来是 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$，会得出 $\frac{5\pi }{6}$ 的荒谬结论）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I理-16
• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 1990-全国卷理-11 单-异面直线所成的角