2021-乙卷理-10 单-导数极值

本题导读

本题考查函数的极值，以及三次函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷理）设 $a\ne 0$，若 $x=a$ 为函数 $f(x)=a(x-a{)}^2(x-b)$ 的极大值点，则 $($　　$)$

A. $a<b$　　　　　B. $a>b$　　　　　C. $ab<a^2$　　　　　D. $ab>a^2$

🔍【思路分析】

破题导航

本题考查利用导数或函数图象的性质研究函数的极值。解决本题有两条主线：

1. 数形结合法（三次函数的图象性质）：已知 $x=a$ 和 $x=b$ 是函数的零点，且 $x=a$ 是重根（切点）。根据最高次项系数（$a>0$ 或 $a<0$）决定函数图象的走向，再结合“极大值”的几何直观，即可锁定 $a$ 与 $b$ 的大小关系，最后统一为一个代数不等式。

2. 纯代数求导法：求导并因式分解。要使 $x=a$ 为极大值点，导函数 $f^{\prime }(x)$ 必须在 $x=a$ 处发生“左正右负”的变号。通过构造变号因子，可以非常严谨地解出参数不等式。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解法一：数形结合（三次函数图象法）

令 $f(x)=0$，解得 $x=a$ 或 $x=b$。

即 $x=a$ 及 $x=b$ 是 $f(x)$ 的两个零点，且 $x=a$ 是二重根，图象在此处与 $x$ 轴相切。

情况 1：当 $a>0$ 时

三次函数 $f(x)$ 的最高次项系数为 $a>0$，因此当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to +\infty$。

图象整体呈“从左下到右上”的趋势。

因为 $x=a$ 是极大值点，且 $f(a)=0$，所以图象在 $x=a$ 的左侧须大于 0，右侧须小于 0（但在 $x=a$ 处相切，说明只能是先增后减接触 $x$ 轴），

故极大值点 $x=a$ 必须在穿过 $x$ 轴的零点 $x=b$ 的左侧。

此时得到：$0<a<b$。

不等式两边同乘 $a$ (因 $a>0$)，得 $a^2<ab$。

情况 2：当 $a<0$ 时

三次函数 $f(x)$ 的最高次项系数为 $a<0$，因此当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to -\infty$。

图象整体呈“从左上到右下”的趋势。

同理，要使 $x=a$ 是极大值点（且 $f(a)=0$），图象必须在相切处形成一个“凸起”。

这要求极大值点 $x=a$ 必须在穿过 $x$ 轴的零点 $x=b$ 的右侧。

此时得到：$b<a<0$。

不等式两边同乘 $a$ (注意 $a<0$，需要变号)，得 $ab>a^2$。

综上所述：无论 $a>0$ 还是 $a<0$，都必然有 $ab>a^2$。

故选 D。

解法二：导数代数法（符号判定）

对 $f(x)=a(x-a{)}^2(x-b)$ 求导：

$f^{\prime }(x)=a\left[2(x-a)(x-b)+(x-a{)}^2\right]$

提取公因式 $(x-a)$：

$f^{\prime }(x)=a(x-a)\left[2(x-b)+(x-a)\right]=a(x-a)(3x-2b-a)$

为了方便观察变号趋势，我们人为提取一个负号，构造出 $(a-x)$：

$f^{\prime }(x)=(a-x)\cdot [-a(3x-2b-a)]$

令 $g(x)=-a(3x-2b-a)$。

因为我们已知 $x=a$ 是极大值点，所以 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=a$ 附近必须满足左正右负：

• 当 $x<a$ 时，$f^{\prime }(x)>0$；

• 当 $x>a$ 时，$f^{\prime }(x)<0$。

我们观察变号因子 $(a-x)$：

• 当 $x<a$ 时，$a-x>0$；

• 当 $x>a$ 时，$a-x<0$。

可以发现，$(a-x)$ 的符号变化与极大值点所要求的 $f^{\prime }(x)$ 符号变化完全一致！

这就意味着，在 $x=a$ 附近，剩余的部分 $g(x)$ 必须恒为正数，即 $g(a)>0$。

代入 $x=a$ 计算：

$g(a)=-a(3a-2b-a)=-a(2a-2b)>0$

展开得到：

$-2a^2+2ab>0⟹2ab>2a^2⟹ab>a^2$

故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 三次函数的“切线”性质：形如 $f(x)=k(x-x_1{)}^2(x-x_2)$ 的函数，其图象必在 $(x_1,0)$ 处与 $x$ 轴相切。这是一个极其重要的高考高频考点。

2. 极值的导数定义：极大值点 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime }(x_0)=0$ 且在其邻域内左正右负。解法二中“分离变号项”的技巧非常实用，它将复杂的解不等式组问题转化为代入求值并判断符号的问题，极大降低了由于分类讨论带来的失误率。

3. 分类讨论与统一：本题中选项 C 和 D 是对立的，A 和 B 只是 $a$ 大于 0 或小于 0 时的局部情况。遇到带参选择题，当得到 $a>0⟹a<b$ 且 $a<0⟹a>b$ 时，不要慌，统一乘上参数 $a$ 往往就能看到本质。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-20 解-函数极值
• 2008-北京卷文-13 填-折线函数与导数
• 2008-北京卷文-17 解-奇函数定参与三次函数单调