2021-乙卷理-13 填-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线的渐近线，以及焦距。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷理）已知双曲线 $C:\frac{x^2}{m}-y^2=1(m>0)$ 的一条渐近线为 $\sqrt{3}x+my=0$，则 $C$ 的焦距为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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本题考查双曲线的标准方程与基本性质。

对于焦点在 $x$ 轴上的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

利用已知的双曲线方程写出渐近线斜率的表达式，再将题干中给出的一条渐近线化为斜截式求出其斜率。两者建立等量关系即可解出参数 $m$，最后利用 $c^2=a^2+b^2$ 求出焦距 $2c$。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程 $\frac{x^2}{m}-y^2=1(m>0)$ 可知，焦点在 $x$ 轴上，且：

$a^2=m$，$b^2=1$

因为 $m>0$，所以 $a=\sqrt{m}$，$b=1$。

该双曲线的渐近线方程为 $\frac{x}{a}\pm \frac{y}{b}=0$，即 $y=\pm \frac{1}{\sqrt{m}}x$。

已知双曲线的一条渐近线方程为 $\sqrt{3}x+my=0$。

因为 $m>0$，将该方程化为斜截式，得：

$y=-\frac{\sqrt{3}}{m}x$

因为该直线是双曲线的一条渐近线，所以其斜率与双曲线渐近线的斜率对应相等。取绝对值进行比较（或由于 $m>0$ 对应负斜率的渐近线）：

$\frac{1}{\sqrt{m}}=\frac{\sqrt{3}}{m}$

由于 $m>0$，方程两边同乘 $m\sqrt{m}$，得：

$m=\sqrt{3}\sqrt{m}$

两边平方得：

$m^2=3m$

因为 $m>0$，解得：

$m=3$

将 $m=3$ 代回原方程，可知双曲线标准方程为 $\frac{x^2}{3}-y^2=1$。

此时 $a^2=3$，$b^2=1$。

由双曲线中 $a,b,c$ 的关系 $c^2=a^2+b^2$，得：

$c^2=3+1=4$

解得半焦距 $c=2$。

因此，双曲线 $C$ 的焦距为 $2c=4$。

故答案为：$4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 双曲线渐近线的求法：最快的方法是直接令双曲线标准方程等号右边的 $1$ 变为 $0$。对于 $\frac{x^2}{m}-y^2=1$，令等号右边为 $0$ 得到 $\frac{x^2}{m}-y^2=0$，直接解出 $y=\pm \frac{1}{\sqrt{m}}x$。

2. 基本量的关系：务必牢记双曲线中 $c^2=a^2+b^2$（椭圆中是 $a^2=b^2+c^2$），以及焦距指的是 $2c$ 而非 $c$。这是一道极易得分的送分题，计算时需细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-03 填-渐近线
• 2014-浙江卷理-16 填-渐近线
• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率