2021-乙卷理-15 填-解三角形

本题导读

本题考查三角形面积公式，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷理）记 $△ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，面积为 $\sqrt{3}$，$B=60^{\circ }$，$a^2+c^2=3ac$，则 b=$$\underline{\quad\quad\quad}.

🔍【思路分析】

破题导航

本题考查解三角形中的基本公式应用。题目已知三个条件：三角形面积、一个内角 $B$、以及关于边长 $a,c$ 的代数关系式。

目标是求边 $b$。

解题的常规路径为：

1. 破面积：利用已知角 $B$ 和三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$，求出边长乘积 $ac$ 的值。

2. 用条件：将求得的 $ac$ 代入已知条件 $a^2+c^2=3ac$ 中，从而得到平方和 $a^2+c^2$ 的具体数值。

3. 求目标：结合已知的角 $B$、$ac$、$a^2+c^2$，直接利用余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ 即可求得 $b^2$，进而得到边 $b$ 的长。

✅【答案】

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$2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用面积公式求 $ac$

已知 $△ABC$ 的面积 $S=\sqrt{3}$，角 $B=60^{\circ }$。

根据三角形面积公式：

$S=\frac{1}{2}ac\sin B$

代入已知数据，得：

$\frac{1}{2}ac\sin 60^{\circ }=\sqrt{3}$

$\frac{1}{2}ac\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

解得：

$ac=4$

第二步：利用已知条件求 $a^2+c^2$

已知条件中给出了 $a^2+c^2=3ac$。

将 $ac=4$ 代入上式，得：

$a^2+c^2=3\times 4=12$

第三步：利用余弦定理求 $b$

在 $△ABC$ 中，由余弦定理得：

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$

代入前两步求得的数值和已知角 $B=60^{\circ }$：

$b^2=12-2\times 4\times \cos 60^{\circ }$

$b^2=12-8\times \frac{1}{2}$

$b^2=12-4=8$

因为边长 $b>0$，所以：

$b=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

故答案为：$2\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 解三角形的核心骨架：高考解三角形问题往往围绕着正弦定理、余弦定理和面积公式这三大核心工具展开。本题非常典型地串联了面积公式与余弦定理。

2. “整体代换”思想：在处理关于边长的问题时，不必强求分别求出 $a$ 和 $c$ 的具体值。将 $(ac)$ 和 $(a^2+c^2)$ 视为整体参与运算，是解题的关键技巧。如果在考场上尝试通过联立方程组分别解出 $a,c$，不仅计算量大，还容易出错。

3. 计算细心：虽然步骤简单，但在最后一步开平方时，不要漏掉化简根号，即 $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-福建卷理-10
• 2014-广东卷理-12 填-余弦定理
• 2001-上海卷理-17 解-三角形面积公式