2021-北京卷-06 单-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及等差中项及其性质。

📌【题干】

Question

（2021年北京卷）$\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 是两个等差数列，其中 $\frac{a_k}{b_k}(1\le k\le 5)$ 为常值，$a_1=288$，$a_5=96$，$b_1=192$，则 $b_3=$（\quad）

A. $64$　　　　　　B. $128$　　　　　　C. $256$　　　　　　D. $512$

🔍【思路分析】

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识别问题类型：本题考查等差数列的基本性质和等差中项的计算，并结合了一个“比值为常数”的条件。

已知条件转化：

1. 因为 $\frac{a_k}{b_k}$ 为常值（当 $1\le k\le 5$ 时），所以 $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_5}{b_5}$。利用这个等式可以求出 $b_5$ 的值。

2. 已知 $\{b_n\}$ 是等差数列，要求 $b_3$。观察下标可以发现，$1,3,5$ 成等差数列，因此 $b_3$ 是 $b_1$ 和 $b_5$ 的等差中项。

   确定求解策略：先利用常值比例求出 $b_5$，再利用等差中项公式 $b_3=\frac{b_1+b_5}{2}$ 求出最终结果。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用比值为常数求出 $b_5$

由题意知，当 $1\le k\le 5$ 时，$\frac{a_k}{b_k}$ 为常数，

所以当 $k=1$ 和 $k=5$ 时，比值相等，即：

$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_5}{b_5}$

将已知数据 $a_1=288$，$a_5=96$，$b_1=192$ 代入上式可得：

$\frac{288}{192}=\frac{96}{b_5}$

化简左边的分数：$\frac{288}{192}=\frac{3}{2}$，

所以 $\frac{3}{2}=\frac{96}{b_5}$，

解得：$b_5=\frac{96\times 2}{3}=64$。

（也可以直接按解析思路计算：$b_5=\frac{a_5\cdot b_1}{a_1}=\frac{96\times 192}{288}=64$）

第二步：利用等差中项求 $b_3$

因为数列 $\{b_n\}$ 是等差数列，且下标 $1,3,5$ 构成等差数列，

根据等差数列的性质，$b_3$ 是 $b_1$ 和 $b_5$ 的等差中项，满足：

$2b_3=b_1+b_5$

即 $b_3=\frac{b_1+b_5}{2}$

将 $b_1=192$ 和求出的 $b_5=64$ 代入：

$b_3=\frac{192+64}{2}=\frac{256}{2}=128$。

结论：对应选项 B 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：

1. 题目中给出的创新条件信息的提取与转化（“比值为常值”转化为简单的方程）。

2. 等差数列的下标性质：若 $m+n=p+q$，则 $a_m+a_n=a_p+a_q$；特别地，若 $2m=p+q$，则 $2a_m=a_p+a_q$（等差中项）。

   方法提炼：在等差数列中，遇到下标呈等差的项（如 $a_1,a_3,a_5$），优先考虑使用等差中项的性质来简化运算，而不是去生搬硬套通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 来求解公差。这样可以大大提高解题效率。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 2013-广东卷理-12 填-等差数列性质
• 2013-新课标I卷理-07 单-等差数列通项