2021-天津卷-02 单-充分必要条件

本题导读

本题考查充分条件、必要条件与充要条件的判，以及一元二次不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2021年天津卷）2．已知 $a\in \mathbf{R}$，则“$a>6$”是“$a^2>36$”的（ ）

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

本题考查充分、必要条件的判断。常见的判断方法有两种：

1. 定义法：直接判断命题 $p\Rightarrow q$ 和 $q\Rightarrow p$ 的真假。若 $p\Rightarrow q$ 真且 $q\Rightarrow p$ 假，则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。

2. 集合法：将命题 $p$ 和命题 $q$ 转化为对应的集合 $P$ 和 $Q$，通过判断集合的包含关系（“小范围推大范围”）来确定。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

记命题 $p:a>6$；命题 $q:a^2>36$。

方法一：定义法（直接推导）

1. 判断充分性（$p\Rightarrow q$）：

   若 $a>6$，不等式两边平方，显然有 $a^2>36$，故充分性成立（$p\Rightarrow q$ 为真）；

2. 判断必要性（$q\Rightarrow p$）：

   若 $a^2>36$，解此一元二次不等式，得 $a>6$ 或 $a<-6$。

   当 $a<-6$（例如取 $a=-7$）时，$a>6$ 不成立，推不出 $a>6$。故必要性不成立（$q\Rightarrow p$ 为假）。

综上所述，“$a>6$”是“$a^2>36$”的充分不必要条件。

方法二：集合法

条件 $p$ 对应的集合为：$P=\{a\mid a>6\}$

条件 $q$ 对应的集合为：$Q=\{a\mid a^2>36\}=\{a\mid a>6\text{ 或 }a<-6\}$

显然，集合 $P$ 是集合 $Q$ 的真子集，即 $P⊊Q$。

根据“小集合是大集合的充分不必要条件”，可知“$a>6$”是“$a^2>36$”的充分不必要条件。

对比选项，正确答案为 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

充分、必要条件的集合论解释：

设 $p$ 对应的集合为 $A$，$q$ 对应的集合为 $B$：

1. 若 $A\subseteq B$，则 $p$ 是 $q$ 的充分条件（$q$ 是 $p$ 的必要条件）。

2. 若 $A\supseteq B$，则 $p$ 是 $q$ 的必要条件（$q$ 是 $p$ 的充分条件）。

3. 若 $A=B$，则 $p$ 是 $q$ 的充要条件。

4. 若 $A⊊B$，则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。

口诀记忆：“小推大，大推不出小”（小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围）。

📖【试题探源与推广】

Tip

在处理涉及不等式的充分必要条件判断时，“集合法”往往比单纯的逻辑推理更直观，能有效避免遗漏（尤其是负数平方的情况）。例如，若把题目改为“$|a|>6$”是“$a^2>36$”的什么条件？

通过解不等式可知：$|a|>6\iff a>6\text{ 或 }a<-6$。

此时两个命题对应的集合完全相等（$A=B$），因此答案就会变成“充要条件”。解题时务必要把范围解透彻。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-09 填-一元二次不等式
• 1977-福建卷-02(1)
• 1981-全国卷理-03