2021-天津卷-11 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2021年天津卷）11．在 ${\left(2x^3+\frac{1}{x}\right)}^6$ 的展开式中，$x^6$ 的系数是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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处理二项式展开式求“特定项系数”、“常数项”等问题，标准步骤如下：

1. 写出通项：利用二项展开式通项公式 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。

2. 分离化简：将通项中的常数部分（包括组合数、数字系数）与字母部分（变量 $x$ 的幂）分离开来，利用指数运算性质合并 $x$ 的指数。

3. 列式求解：根据题目要求（求 $x^6$ 的系数），令 $x$ 的总指数等于 6，建立关于 $r$ 的一次方程，解出 $r$。

4. 回代计算：将求得的 $r$ 值代回“常数部分”，计算出最终的系数。

✅【答案】

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$160$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出并化简展开式的通项

根据二项式定理，${\left(2x^3+\frac{1}{x}\right)}^6$ 展开式的第 $r+1$ 项的通项公式为：

$T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r{\left(2x^3\right)}^{6-r}\cdot {\left(\frac{1}{x}\right)}^r$

利用指数运算性质 $(ab{)}^n=a^n{b}^n$ 和 $\frac{1}{x}=x^{-1}$ 进行化简，分离常数与变量：

$\begin{array}{rl}{T}_{r+1}& ={\mathrm{C}}_6^r\cdot 2^{6-r}\cdot {\left(x^3\right)}^{6-r}\cdot x^{-r}\\ & ={\mathrm{C}}_6^r\cdot 2^{6-r}\cdot x^{18-3r}\cdot x^{-r}\\ & ={\mathrm{C}}_6^r\cdot 2^{6-r}\cdot x^{18-4r}\end{array}$

其中，${\mathrm{C}}_6^r\cdot 2^{6-r}$ 是该项的系数部分，$x^{18-4r}$ 是变量部分。

第二步：根据指定项求 $r$

题目要求的是 $x^6$ 的系数，因此令通项中 $x$ 的指数等于 6：

$18-4r=6$

解这个一元一次方程：

$4r=12⟹r=3$

（注：$r$ 必须是 $0\le r\le n$ 范围内的整数，若解出 $r$ 为分数或负数，则说明展开式中不存在该项，此处 $r=3$ 满足要求。）

第三步：计算系数

将 $r=3$ 代入通项的系数部分：

$\text{系数}={\mathrm{C}}_6^3\cdot 2^{6-3}={\mathrm{C}}_6^3\cdot 2^3$

计算组合数 ${\mathrm{C}}_6^3$：

${\mathrm{C}}_6^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$

代入得：

$\text{系数}=20\times 8=160$

故答案为：$160$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 通项公式记忆：二项式 $(a+b{)}^n$ 的通项公式为 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。注意这里是第 $r+1$ 项，而不是第 $r$ 项。

2. 指数运算基本功：在分离系数与变量时，极易在指数运算上出错。必须牢记：$(a^m{)}^n=a^{mn}$、$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$、$\frac{1}{x^n}=x^{-n}$。例如本题中 $(x^3{)}^{6-r}=x^{18-3r}$，切忌算成 $x^{3+(6-r)}$ 等错误形式。

3. 验证机制：计算出的 $r$ 值必须是非负整数且 $r\le n$。如果算出来的 $r$ 是分数，说明原式展开中没有这一项（其系数为0），这也是一种常见的判断题或选择题陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

二项式定理是高考的必考小题，除了本题的“求特定项系数”，还有以下几个高频考法，建议一并掌握：

这是二项式题目中最容易踩的坑！

对于通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$：

• 二项式系数：仅仅指组合数 ${\mathbf{C}}_n^r$。它只与 $n$ 和 $r$ 有关，与项的具体内容无关。本题中 $x^6$ 的二项式系数是 ${\mathrm{C}}_6^3=20$。

• 项的系数：指该项中除了字母变量以外的所有常数部分的乘积。包含了二项式系数以及 $a,b$ 中携带的常数。本题中 $x^6$ 的系数是 ${\mathrm{C}}_6^3\cdot 2^3=160$。

  审题时务必看清题目问的是“系数”还是“二项式系数”！

• 求常数项：步骤与本题完全一致，只是在“第二步”中，令 $x$ 的指数等于 $0$ 即可（因为 $x^0=1$）。

• 求有理项：如果变量带有根号（例如 $x^{\frac{1}{2}}$ 等），化简通项后，令 $x$ 的指数为整数。通过探讨 $r$ 在 $0\le r\le n$ 范围内的取值，找出所有使得指数为整数的 $r$，分别代入求和即可。

如果题目不求某一项，而是求整个多项式展开后所有项的系数之和，千万不要一项项算出来加！

利用赋值法（特值法）：

对于恒等式 $(2x^3+\frac{1}{x}{)}^6=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots$

要求所有各项系数之和（即 $a_0+a_1+a_2+\dots$），只需令等式两边的 $x=1$ 即可。

所以，本题展开式的各项系数之和为：$(2\times 1^3+\frac{1}{1}{)}^6=(2+1{)}^6=3^6=729$。

（引申：若求奇数项或偶数项系数和，则分别令 $x=1$ 和 $x=-1$，然后将两式相加或相减并除以2即可。）

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2003-广东卷-14
• 2004-全国卷I理-05 单-二项式定理
• 2004-湖南理-15 填-二项式定理