2020-北京卷-03 单-指数幂运算

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项式展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2020年北京卷）3. 在 $(\sqrt{x}-2{)}^5$ 的展开式中，$x^2$ 的系数为（ ）

A. $-5$　　　　　　　B. $5$　　　　　　　C. $-10$　　　　　　　D. $10$

🔍【思路分析】

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1. 写出通项公式： 对于二项式 $(a+b{)}^n$，通项公式为 $T_{r+1}=C_n^r\cdot a^{n-r}\cdot b^r$。 在本题中，$a=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$，$b=-2$，$n=5$。

2. 确定 $r$ 值： 将通项公式整理为含有 $x$ 指数的形式，令 $x$ 的指数等于 $2$，解出 $r$。

3. 计算系数： 将 $r$ 值代入通项公式中的常数部分（包含组合数和 $(-2{)}^r$）。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】 二项式 $(\sqrt{x}-2{)}^5$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}=C_5^r\cdot (\sqrt{x}{)}^{5-r}\cdot (-2{)}^r$ $T_{r+1}=C_5^r\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{5-r}\cdot (-2{)}^r$ $T_{r+1}=C_5^r\cdot (-2{)}^r\cdot x^{\frac{5-r}{2}}$ 令 $x$ 的指数为 $2$，即： $\frac{5-r}{2}=2⟹5-r=4⟹r=1$ 将 $r=1$ 代入系数部分： $\text{系数}=C_5^1\cdot (-2{)}^1=5\times (-2)=-10$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 符号敏感度： 二项式中 $b=-2$，在计算系数时必须带上负号。$(-2{)}^r$ 当 $r$ 为奇数时结果为负。
• 指数换算： 熟练掌握 $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$ 的转化。
• 组合数计算： $C_n^1=n$ 是最基本的组合数性质。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 二项式系数： 如果题目问的是 $x^2$ 这一项的“二项式系数”，答案应为 $C_5^1=5$（永远为正）。
2. 所有项系数之和： 若求所有项系数之和，直接令 $x=1$，即 $(1-2{)}^5=-1$。
3. 常数项： 若求该展开式的常数项，则令指数 $\frac{5-r}{2}=0$，解得 $r=5$，常数项为 $C_5^5\cdot (-2{)}^5=-32$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2006-北京卷理-10 填-幂的运算性质
• 2014-大纲卷理-13 填-二项式展开式通项
• 2021-天津卷-11 填-二项式定理