本题导读
本题考查平面向量的线性运算与模长。核心在于变量代换（引参法）、向量基底拆解法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2021年天津卷）15．在边长为 的等边三角形 中， 为线段 上的动点， 且交 于点 ． 且交 于点 。
则 的值为____________；
的最小值为____________．
🔍【思路分析】
破题导航
面对几何图形上的动点问题，首选的通用策略是**“代数化”**——即找一个合适的线段设为未知数 ，然后把所有要求的量都用 表达出来。
1. 几何尺寸的代数化：
设 。因为动点 在 上，且 在 上，显然 的取值范围是 。
在 中，，很容易利用三角函数求出 ，。
由于 ，所以 也是等边三角形，其边长即为 。
这样，图形中所有关键线段的长度就全都知道了！
2. 核心解题策略：
- 第一空：观察向量方向。 和 都在什么方向上？你会发现它们不仅平行，而且同向！这可以直接脱去绝对值，快速求解。
- 第二空：处理向量点乘 时，最怕直接硬算夹角。高级的技巧是**“拆解法”**：把未知的 拆成已知路径 ，利用 产生 这一天然优势，大幅简化计算。
✅【答案】
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① ； ②
✍【详细解析】
Abstract
基础准备（统一变量）：
设 ，其中 。
在等边 中，。
因为 ，在 中，。
所以：，。
由此可得：。
因为 ，所以 ，故 也是边长为 的等边三角形。
所以 。
💡 快速求解解法（几何直观法）
观察方向：因为 在 上， 的方向是从 指向 （即与 同向）。
因为 ， 在下 在上， 的方向同样等同于从 指向 的方向。
既然 和 共线且同向，那么它们和的模，就直接等于模的和！
。
(原解析用平方展开法 当然也对，但耗时更长，且容易算错角度)
💡 破局关键：利用垂直关系拆分
直接求 的模和夹角非常复杂。我们采用**“向量拆分法”**，将 沿着垂直方向拆成 。
原式
此时见证奇迹的时刻到了，消去两项：
- 因为 ，且 都在 直线上，所以 ，即 。
- 因为 ，所以 ，即 。
代入消项后，原式被极大地简化为：
原式
现在分别计算这两部分：
- 。
- ：
- 方向判断：如前所述， 与 同向；而 也是从 指向 ，与 同向。两者夹角为 。
- 故 。
将两部分相加，构造关于 的二次函数：
求二次函数最值：
将其配方：
因为 ，而对称轴 恰好落在该区间内。
所以当 时，二次函数取得最小值 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 方向判定错误导致正负号出错：在计算 时，很多同学只求了模长相乘，忽略了夹角判定。如果 改成 ，那么它们的夹角就是 ，点乘结果就会多一个负号。做向量点乘，一定要先画图确认“箭头”是否指同侧。
- 定义域遗漏：在得出二次函数 后，必须检验对称轴 是否在动点允许的取值范围 内。如果不在此范围内，则需要在区间端点处取得极值。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：待补
- 结论推广：待补
🔗【关联脉络】
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