2021-新高考II卷-08 单-函数对称性

本题导读

本题考查函数的对称性，以及函数的周期性判定。

📌【题干】

Question

（2021年新高考II卷）已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，$f(x+2)$ 为偶函数，$f(2x+1)$ 为奇函数，则（ ）

A. $f(-\frac{1}{2})=0$　　B. $f(-1)=0$　　C. $f(2)=0$　　D. $f(4)=0$

🔍【思路分析】

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1. 转化轴对称条件：由 $f(x+2)$ 是偶函数，利用 $g(-x)=g(x)$ 推导出 $f(x)$ 的对称轴。

2. 转化点对称条件：由 $f(2x+1)$ 是奇函数，利用 $h(-x)=-h(x)$ 推导出 $f(x)$ 的对称中心。

3. 判定周期性：利用“一条对称轴 + 一个对称中心”的性质，推导函数 $f(x)$ 的周期 $T$。

4. 求值锁定答案：利用对称中心得出 $f(x_0)=0$ 的点，再结合周期性进行平移，判定各选项。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析 $f(x)$ 的对称轴

因为 $g(x)=f(x+2)$ 是偶函数，所以 $g(-x)=g(x)$。

即 $f(-x+2)=f(x+2)$。

这说明函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=2$ 对称。

由此性质可得：$f(x)=f(4-x)$。

第二步：分析 $f(x)$ 的对称中心

因为 $h(x)=f(2x+1)$ 是奇函数，所以 $h(-x)=-h(x)$。

即 $f(-2x+1)=-f(2x+1)$。

令 $t=2x+1$，则 $2x=t-1$，$-2x+1=1-(t-1)=2-t$。

代入得：$f(2-t)=-f(t)$。

这说明函数 $f(x)$ 的图象关于点 $(1,0)$ 中心对称。

特别地，当 $t=1$ 时，$f(1)=-f(1)⟹\mathbf{f}(1)=0$。

第三步：推导周期性

• 由关于点 $(1,0)$ 对称知：$f(x)=-f(2-x)$ ①

• 由关于直线 $x=2$ 对称知：$f(2-x)=f(2+x)$ ②

结合 ① 和 ② 得：$f(x)=-f(x+2)$。

进一步推导：$f(x+4)=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x)$。

故函数 $f(x)$ 是周期为 $4$ 的周期函数。

第四步：验证选项

已知 $f(1)=0$：

• 对于 B 选项：$f(-1)=f(-1+4)=f(3)$（利用周期 $T=4$）。

根据对称轴 $x=2$：$f(3)=f(4-3)=f(1)=0$。故 B 正确。

• 对于 C 选项：$f(2)$ 为对称轴上的值，不一定为 0。

• 对于 D 选项：$f(4)=f(0)$，根据对称性 $f(0)=f(4)$，且由中心对称 $f(0)=-f(2)$，无法断定必为 0。

• 对于 A 选项：无法根据已知条件推导 $f(-1/2)$ 的值。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心二级结论——双对称定周期：

• 两条对称轴 $x=a$ 与 $x=b$：$T=2|a-b|$。

• 两个对称中心 $(a,0)$ 与 $(b,0)$：$T=2|a-b|$。

• 一条对称轴 $x=a$ 与一个对称中心 $(b,0)$：$T=4|a-b|$。

本题中轴 $x=2$，中心 $(1,0)$，距离为 1，故 $T=4\times 1=4$。

2. 复合函数奇偶性的陷阱：处理 $f(2x+1)$ 时，切忌主观臆断。最稳妥的方法是设 $g(x)=f(2x+1)$，通过 $g(-x)=-g(x)$ 严格代换。

3. 周期性与对称性的配合：在求抽象函数值时，先用周期性将自变量转化到已知对称中心或对称轴附近，再利用对称性求值。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目改为 $f(x+2)$ 为奇函数，$f(2x+1)$ 为偶函数，结果会如何变化？

(提示：此时对称轴与中心位置对调，周期依然为 4，需重新代值计算。)

• 能力提升：掌握对称性的一般表示法：$f(a+x)=f(b-x)$ 表示对称轴为 $x=\frac{a+b}{2}$；$f(a+x)=-f(b-x)$ 表示对称中心为 $(\frac{a+b}{2},0)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2005-天津卷理-16 填-奇函数零点性质

• 2007-天津卷理-07 单-函数单调性区间平移

• 2009-大纲卷I理-11