2021-新高考II卷-13 填-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质，以及双曲线的离心率定义及公式。

📌【题干】

Question

（2021年新高考II卷）已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 建立基本量联系：双曲线中 $a,b,c$ 满足关系式 $c^2=a^2+b^2$。

2. 离心率公式变形：离心率 $e=\frac{c}{a}$，则 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+(\frac{b}{a}{)}^2$。

3. 求解比值：代入已知条件 $e=2$，解出 $\frac{b}{a}$ 的值。

4. 确定渐近线：焦点在 $x$ 轴的双曲线渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，代入比值即可。

✅【答案】

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$y=\pm \sqrt{3}x$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用离心率公式进行转化 已知双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，其离心率 $e=2$。 根据双曲线基本量关系 $c^2=a^2+b^2$： $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+\frac{b^2}{a^2}$

第二步：求解 $b$ 与 $a$ 的比值 代入 $e=2$ 得： $2^2=1+\frac{b^2}{a^2}$ $4=1+\frac{b^2}{a^2}$ $\frac{b^2}{a^2}=3$ 由于 $a,b>0$，解得：$\frac{b}{a}=\sqrt{3}$。

第三步：写出渐近线方程 对于中心在原点，焦点在 $x$ 轴的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其渐近线方程为： $y=\pm \frac{b}{a}x$ 代入 $\frac{b}{a}=\sqrt{3}$，得渐近线方程为： $y=\pm \sqrt{3}x$。

故答案为：$y=\pm \sqrt{3}x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心二级结论：

• 焦点在 $x$ 轴的双曲线：$e^2=1+k^2$（其中 $k$ 为渐近线斜率绝对值 $\frac{b}{a}$）。
• 焦点在 $y$ 轴的双曲线：$e^2=1+\frac{1}{k^2}$（其中 $k$ 为渐近线斜率绝对值 $\frac{a}{b}$）。 熟记这两个结论可以在选择填空题中快速求解。

2. 几何量对比：在双曲线中 $c$ 最大（$c^2=a^2+b^2$），而在椭圆中 $a$ 最大（$a^2=b^2+c^2$），这是最基础但也最容易混淆的点。
3. 避坑指南：填空题书写渐近线方程时，务必记得带上“$\pm$”号，且确保方程形式完整（$y=\dots$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：若已知渐近线夹角为 $60^{\circ }$ 或 $120^{\circ }$，可以反求离心率。例如本题中斜率为 $\pm \sqrt{3}$，说明渐近线与 $x$ 轴夹角为 $60^{\circ }$，两条渐近线夹角为 $60^{\circ }$（含焦点的角）或 $120^{\circ }$。
• 变式思考：如果双曲线方程变为 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$，且离心率仍为 2，渐近线方程会变吗？ (提示：渐近线方程变为 $y=\pm \frac{a}{b}x$，此时 $\frac{a}{b}=\sqrt{3}$，方程为 $y=\pm \sqrt{3}x$，形式上没有改变，但 $a,b$ 的角色互换了。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程