2021-新高考II卷-17 解-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式。核心在于基本量法、方程建模法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年新高考II卷）记 $S_n$ 是公差不为 0 的等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_3=S_5$，$a_2{a}_4=S_4$。

（1）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式 $a_n$；

（2）求使 $S_n>a_n$ 成立的 $n$ 的最小值。

🔍【思路分析】

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1. 第一问（基本量求解）：

• 巧妙转化：利用等差数列求和性质 $S_5=5a_3$。结合已知 $a_3=S_5$，可直接锁定 $a_3$ 的值。
• 建立方程：设公差为 $d$，用 $a_3$ 和 $d$ 表示出 $a_2,a_4,S_4$。
• 求解 $d$：根据 $a_2{a}_4=S_4$ 解出公差，进而写出通项。

2. 第二问（不等式判定）：

• 表达式推导：根据第一问的 $a_1$ 和 $d$ 写出 $S_n$ 的二次函数表达式。
• 解不等式：将 $S_n$ 与 $a_n$ 代入不等式，整理为关于 $n$ 的一元二次不等式。
• 寻找整数解：结合 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 的约束，确定符合条件的最小正整数。

✅【答案】

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使 $S_n>a_n$ 成立的 $n$ 的最小值为 7

✍【详细解析】

Abstract

（1）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式 $a_n$ 第一步：确定中间项 $a_3$ 由等差数列求和公式可知：$S_5=\frac{5(a_1+a_5)}{2}=5a_3$。 已知 $a_3=S_5$，则 $a_3=5a_3$，解得 $a_3=0$。

第二步：建立关于公差 $d$ 的方程 设公差为 $d$ ($d\ne 0$)。 则 $a_2=a_3-d=-d$； $a_4=a_3+d=d$； $a_1=a_3-2d=-2d$。 $S_4=\frac{4(a_1+a_4)}{2}=2(-2d+d)=-2d$。

第三步：求解公差并写出通项 已知 $a_2{a}_4=S_4$，代入 $d$ 的表达式： $(-d)\cdot d=-2d⟹-d^2=-2d$ 即 $d^2-2d=0$，解得 $d=2$ 或 $d=0$（舍去）。 故数列的通项公式为： $a_n=a_3+(n-3)d=0+(n-3)\times 2=2n-6$。

（2）求使 $S_n>a_n$ 成立的 $n$ 的最小值 第一步：求出 $S_n$ 的表达式 已知 $a_1=-4,d=2$： $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=-4n+\frac{n(n-1)}{2}\times 2=n^2-5n$。

第二步：解不等式 由 $S_n>a_n$ 得： $n^2-5n>2n-6$ 整理得：$n^2-7n+6>0$ 因式分解得：$(n-1)(n-6)>0$ 解得：$n>6$ 或 $n<1$。

第三步：锁定最小值 由于 $n$ 为正整数（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）： 当 $n>6$ 时，$n$ 的最小值为 $7$。 当 $n<1$ 时，无正整数解。 综上所述，使 $S_n>a_n$ 成立的 $n$ 的最小值为 7。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 基本量法的灵活性：虽然公式通常以 $a_1$ 为基准，但在已知中间项（如 $a_3$）的情况下，以中间项为基准表示其余项能极大简化运算。

2. 求和公式的几何意义：等差数列的前 $n$ 项和是关于 $n$ 的二次函数，其在坐标系中表现为开口向上或向下的抛物线上的离散点。

3. 避坑指南：

• 求解 $d$ 时务必注意题目条件 $d\ne 0$。
• 第二问得到 $n>6$ 后，需根据“最小值”和“正整数”两个条件给出确切数值 $7$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果题目要求 $S_n⩽a_n$ 成立的 $n$ 的取值范围，该如何处理？ (提示：根据（2）中解得的范围补集，即 $1⩽n⩽6$。)
• 能力提升：观察 $S_n-a_n=n^2-7n+6$。这是一个关于 $n$ 的二次函数。通过寻找该函数的零点，可以直观判断出 $S_n$ 与 $a_n$ 大小关系的切换位置。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 2013-新课标I卷理-07 单-等差数列通项
• 2014-大纲卷理-18 解-等差数列通项