2021-新高考II卷-18 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理及其边角转化应用。核心在于边角转化法、方程建模法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年新高考II卷）在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边长分别为 $a,b,c$，已知 $b=a+1$，$c=a+2$。

（1）若 $2\sin C=3\sin A$，求 $△ABC$ 的面积；

（2）是否存在正整数 $a$，使得 $△ABC$ 为钝角三角形？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由。

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求面积）：

• 边角转化：利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，将已知正弦关系转化为边长比例 $2c=3a$。
• 确定边长：结合 $c=a+2$ 解出 $a,b,c$ 的具体值。
• 计算面积：利用余弦定理求出 $\cos C$，转化得 $\sin C$，最后代入面积公式。

2. 第二问（钝角判定）：

• 锁定最大角：由于 $a<a+1<a+2$，最大角必为 $C$。
• 建立不等式：钝角三角形等价于 $\cos C<0$（或 $a^2+b^2<c^2$）。
• 约束条件：除了钝角条件外，还需满足三角形存在性条件（两边之和大于第三边 $a+b>c$），在交集中寻找正整数 $a$。

✅【答案】

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正整数 $a$ 需满足

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $△ABC$ 的面积 第一步：利用正弦定理转化边长 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ 得 $\sin C=\frac{c\sin A}{a}$。 代入已知等式 $2\sin C=3\sin A$： $2\cdot \frac{c\sin A}{a}=3\sin A⟹2c=3a$。

第二步：求解边长 $a,b,c$ 将 $c=a+2$ 代入上式： $2(a+2)=3a⟹2a+4=3a⟹a=4$。 由此得：$b=a+1=5$，$c=a+2=6$。

第三步：计算 $\cos C$ 与 $\sin C$ 由余弦定理得： $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{4^2+5^2-6^2}{2\times 4\times 5}=\frac{16+25-36}{40}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$。 因为 $C\in (0,\pi )$，则 $\sin C=\sqrt{1-{\cos }^{2}C}=\sqrt{1-(\frac{1}{8}{)}^2}=\frac{3\sqrt{7}}{8}$。

第四步：求面积 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\times 4\times 5\times \frac{3\sqrt{7}}{8}=\frac{15\sqrt{7}}{4}$。

（2）判定钝角三角形存在性 第一步：确定最大角及其判定条件 因为 $a<a+1<a+2$，即 $a<b<c$，所以角 $C$ 是三角形中的最大角。 若 $△ABC$ 为钝角三角形，则需满足最大角 $C$ 为钝角，即 $\cos C<0$。

第二步：建立不等式并求解 由余弦定理知 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}<0$。 由于边长 $a,b>0$，分母为正，故分子需小于 0： $a^2+(a+1{)}^2-(a+2{)}^2<0$ $a^2+a^2+2a+1-(a^2+4a+4)<0$ $a^2-2a-3<0$ 因式分解得：$(a-3)(a+1)<0$，解得 $-1<a<3$。

第三步：结合三角形存在性条件 根据“两边之和大于第三边”： $a+b>c⟹a+(a+1)>a+2⟹a>1$。

第四步：确定整数解 综上所述，正整数 $a$ 需满足： $\{\begin{array}{l}1<a<3\\ a\in \mathbb{Z}\end{array}$ 唯一的正整数解为 $a=2$。 此时边长为 2, 3, 4，验证：$2^2+3^2=13<4^2=16$，确为钝角三角形。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心转化：正弦定理是解决“边角比例”问题的钥匙，而余弦定理是处理“边长与角正负关系”最强有力的代数工具。
2. 钝角判定的简易法则：在已知 $a⩽b⩽c$ 的前提下，判定钝角只需验证 $a^2+b^2<c^2$ 是否成立，这比计算出具体的余弦值更快捷。
3. 避坑指南：

• 在处理第二问时，三角形存在性条件 $a+b>c$ 极其容易被遗漏。若不考虑此项，可能会多解出 $a=1$（此时三边为 1, 2, 3，无法构成三角形）。
• 计算 $a^2-2a-3<0$ 的根时，注意二次不等式解集的开闭及方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：对于边长为连续整数 $a,a+1,a+2$ 的三角形：

• 当 $a=3$ 时，为著名的勾股三角形（3, 4, 5），是直角三角形。
• 当 $a>3$ 时，均为锐角三角形。
• 当 $1<a<3$ 时，为钝角三角形。

• 变式思考：如果题目给定 $△ABC$ 是直角三角形，那么三边长是多少？ (提示：由 $a^2+(a+1{)}^2=(a+2{)}^2$ 解得 $a=3$，即三边为 3, 4, 5。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2012-山东卷文-17 解-解三角形与等比数列
• 2012-新课标卷文-17 解-正余弦定理解三角形